人教A版数学必修4 模块综合学业质量标准检测 试卷

模块综合学业质量标准检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知sin(－α)＝，且cos(－α)>0，则tanα＝(　D　)

A．　　　　　 B．－

C． D．－

[解析]　sinα＝－<0，cosα>0，所以α是第四象限角，且cosα＝，所以tanα＝－.

2．对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的是(　B　)

A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤|a|－|b|

C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2

[解析]　对于A选项，设向量a，b的夹角为θ，∵|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，∴A选项正确；对于B选项，

∵当向量a，b反向时，|a－b|≥|a|－|b|，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D选项正确，综上选B．

3．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　A　)

A． B．2

C．5 D．50

[解析]　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，

∴|a－b|＝＝.

故选A．

4．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　A　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A．

5．函数y＝[cos(x＋)＋sin(x＋)][cos(x＋)－sin(x＋)]在一个周期内的图象是(　B　)

[解析]　y＝cos2(x＋)－sin2(x＋)

＝cos(2x＋)＝－sin2x，对照图象可知选B．

6．将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是(　C　)

A．y＝cos＋1 B．y＝cos＋1

C．y＝cos＋1 D．y＝cos＋1

[解析]　将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得函数y＝cos2的图象，再把y＝cos2的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y＝cos2＋1＝cos＋1.

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　D　)

A．－16 B．－8

C．8 D．16

[解析]　解法1：∵·＝||·||cosA，

△ABC为直角三角形，∴·＝||·||·＝||2＝16.故选D．

解法2：∵△ACB为直角三角形，∴在上的投影为AC，∴·＝2＝16.

8．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，则tan等于(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，整理得sinα＝.又α∈，则cosα＝－.

所以tanα＝－.

则tan＝＝.

9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象(　A　)

A．关于点(，0)对称 B．关于点(，0)对称

C．在于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称

[解析]　令2×＋φ＝，得φ＝，

所以y＝cos(2x＋)关于(，0)对称．

10．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　C　)

A．5 B．4

C．3 D．2

[解析]　如图所示，△ABC中，D是BC边的中点，

由＋＋＝0易知M是△ABC的重心，∴＋＝2.

又∵＝，

∴＋＝2＝3，∴m＝3，故选C．

11.函数y＝tan(x－)的部分图象如图，则(＋)·＝(　A　)

A．6 B．4

C．－4 D．－6

[解析]　∵点B的纵坐标为1，

∴tan(x－)＝1，

∴x－＝，∴x＝3，即B(3,1)．

令tan(x－)＝0，则x－＝0，解得x＝2，

∴A(2,0)，∴＋＝(5,1)，＝(1,1)．

∴(＋)·＝6.

12．(2018·全国卷Ⅱ理，10)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　A　)

A． B．

C． D．π

[解析]　f(x)＝cosx－sinx

＝－＝－sin，

当x∈，即x－∈时，

y＝sin单调递增，y＝－sinx－单调递减．

∵ 函数f(x)在[－a，a]是减函数，

∴ [－a，a]⊆，

∴ 0<a≤，∴ a的最大值为.

故选A．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，则实数x＝____.

[解析]　∵a∥b，∴1－2x＝0.∴x＝.

14．函数f(x)＝sin2x＋cosx－(x∈[0，])的最大值是__1__.

[解析]　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－(cosx－)2＋1.

∵x∈[0，]，∴cosx∈[0,1]，

∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.

15．已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan(θ－)＝__－__.

[解析]　∵sin(θ＋)＝.

∴cos(θ－)＝cos[(θ＋)－]

＝sin(θ＋)＝，

∵θ是第四象限角，

∴2kπ－<θ－<2kπ－，k∈Z，

∴sin(θ－)＝－，

∴tan(θ－)＝＝－.

16．关于函数f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋)，有下列说法：

①y＝f(x)的最大值为；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f(x)在区间(，)上单调递减；

④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)

[解析]　化简f(x)＝cos(2x－)＋cos(2x＋－)＝cos(2x－)－sin(2x－)＝cos(2x－)，

∴f(x)max＝，即①正确．T＝＝＝π，即②正确．

f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)．

即kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)，即③正确．

将函数y＝cos2x向左平移个单位得

y＝cos[2(x＋)]≠f(x)，∴④不正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b.

(1)当λ＝1时，用a、b表示；

(2)用a、b表示.

[解析]　(1)当λ＝1时，＝，即C是AB的中点，

∴＝(＋)＝a＋b.

(2)∵＝λ，∴＝.

又＝－＝a－b，

∴＝(a－b)．

∴＝＋＝b＋(a－b)

＝a＋b.

18．(本题满分12分)(2018·浙江卷，18)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

(1)求sin(α＋π)的值；

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．

[解析]　(1)由角α的终边过点P，

得sinα＝－.

所以sin(α＋π)＝－sinα＝.

(2)由角α的终边过点P，

得cosα＝－.

由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α，

得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，

所以cosβ＝－或cosβ＝.

19．(本题满分12分)已知点A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，cosθ)．

(1)若||＝||，求的值；

(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．

[解析]　∵A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，cosθ)，

∴＝(2sinθ－1，cosθ)，

＝(2sinθ，cosθ－1)．

(1)||＝||，

∴＝，

化简得2sinθ＝cosθ，

∴tanθ＝.

∴＝＝＝－5.

(2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sinθ，cosθ)，

∴＋2＝(1,2)，

∵(＋2)·＝1，

∴2sinθ＋2cosθ＝1，

∴(sinθ＋cosθ)2＝，

∴1＋2sinθcosθ＝，

∴sinθcosθ＝－.

20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若tanα＋＝5，求的值．

[解析]　(1)设最高点为(x1,1)，相邻的最低点为(x2，－1)，

则|x1－x2|＝(T>0)，

∴＝，

∴＋4＝4＋π2，∴T＝2π＝，又ω>0，∴ω＝1.

∴f(x)＝sin(x＋φ)．

∵f(x)是偶函数，

∴φ＝kπ＋(k∈Z)．

∵0≤φ≤π，∴φ＝，

∴f(x)＝sin(x＋)＝cosx.

(2)∵tanα＋＝5，

∴＋＝5，

∴sinαcosα＝，

∴＝

＝

＝

＝

＝2sinαcosα＝.

21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x轴，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限．求OB2的最大值．

[解析]　过点B作BH⊥OA，垂足为H.

设∠OAD＝θ(0<θ<)，

则∠BAH＝－θ，OA＝2cosθ，

BH＝sin(－θ)＝cosθ，

AH＝cos(－θ)＝sinθ，

所以B(2cosθ＋sinθ，cosθ)，

OB2＝(2cosθ＋sinθ)2＋cos2θ＝7＋6cos2θ＋2sin2θ

＝7＋4sin(2θ＋)．

由0<θ<，知<2θ＋<，

所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.

22．(本题满分12分)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(4cosx，2cosx)，设函数f(x)＝m·n.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)，x∈[－π，π]的单调递增区间；

(3)设函数h(x)＝f(x)－k(k∈R)在区间[－π，π]上的零点的个数为a，试探求a的值及对应的k的取值范围．

[解析]　(1)f(x)＝m·n

＝4sinxcosx＋2cosx

＝2sinx＋2cosx＝4sin(x＋)．

(2)由(1)，知f(x)＝4sin(x＋)，

x∈[－π，π]，

所以x＋∈[－，]，

由－≤x＋≤，

解得－≤x≤，

所以函数f(x)的单调递增区间为[－，]．

(3)当x∈[－π，π]时，

函数h(x)＝f(x)－k的零点讨论如下：

当k>4或k<－4时，h(x)无零点，a＝0；

当k＝4或k＝－4时，h(x)有一个零点，a＝1；

当－4<k<－2或－2<k<4时，h(x)有两个零点，a＝2；

当k＝－2时，h(x)有三个零点，a＝3.