高中数学人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率评课ppt课件

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3.1　直线的倾斜角与斜率
为缓解日益严重的交通压力，各地都加大了基础设施建设的力度，先后投资发展轨道交通与城市高架桥建设，如图是高架桥的效果图，纵横交错的桥梁远远看去如一条条直线，有的相互平行，有的相互垂直，高架桥两边的护栏是平行的，而路灯的灯杆与护栏则是垂直的，如果我们把护栏与灯杆都看作直线，那么，从何角度研究直线以及如何研究呢？这就是本章将要学习的直线与方程．
3.1.1　倾斜角与斜率
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a、b、c、…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同．怎样描述这种“倾斜程度”的不同．
2．斜率(倾斜角为α)
1．给出下列结论：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系．正确结论的个数(　　)A．1个　　　B．2个C．3个　　　D．4个
[解析]　由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．
2．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(　　)A．3　　　B．2C．－2　　　D．不存在
3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于________．[解析]　设倾斜角为α，则tanα＝1，又∵0°≤α<180°，∴α＝45°．
4．(2019·诸城高一检测)已知交于点M(8,6)的四条直线l1、l2、l3、l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．
命题方向1　⇨直线的倾斜角
　　　　(1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(　　)A．0°≤β<180°　　　B．15°<β<180°C．15°≤β<180°　　　D．15°≤β<195°(2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为_________________．[解析]　(1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°．(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1．
0°或180°－α1　
『规律方法』　1.求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之；(2)先求出直线的斜率k，再由k＝tanα，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.对应的斜率k的值依次为0，正值，不存在，负值．
〔跟踪练习1〕(2018·辽宁省丹东市高一联考)给出下列结论：①任意一条直线都有唯一的倾斜角；②直线的倾斜角可以为180°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④倾斜角为60°的直线有无数条．其中正确结论的序号有________．[解析]　由倾斜角的定义可知每条直线都有唯一的倾斜角，①正确；直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，不可能是180°，故②不正确；倾斜角为α(α∈[0°，180°))的直线有无数条，它们是互相平行的，故③不正确，④正确．
命题方向2　⇨已知两点坐标求倾斜角和斜率
『规律方法』　(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．
命题方向3　⇨三点共线
『规律方法』　应用斜率解决三点共线问题的方法(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断三点中是否有两点所在的直线垂直于x轴，即斜率不存在的情况．在斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线．(2)若两条直线的斜率相等，则两条直线平行或重合．
〔跟踪练习3〕(2019·江西省南昌市高二月考)已知A(1,2)，B(－1,0)，C(3，a)三点在同一条直线上，则a的值为(　　)A．－2　　　B．－4C．4　　　D．2
数形结合思想与代数式的几何意义
　　　　　已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误
[错因分析]　当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．
[警示]　在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．
1．下图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是(　　)A．①　　　B．①②　　　C．①③　　　D．②④[解析]　①③中直线的倾斜角为α，故选C．
2．已知P1(3,5)、P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于(　　)A．2　　　B．1　　　C．　　　D．不存在
[解析]　利用斜率相等判断可知C正确．
课 时 作 业 学 案