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2021-2022学年人教版九年级上学期数学期末综合复习
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这是一份2021-2022学年人教版九年级上学期数学期末综合复习，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）
3．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0B．x2+4x＝﹣4C．2x2﹣4x+3＝0D．3x2＝5x﹣2
5．某中学去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，根据题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
6．二次函数y＝mx2﹣4mx+c（m＞0）的图象点A（0，y1），B，C（﹣1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y2＜y1＜y3
7．如图，BD是O的直径，点A，C在上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°．则∠AGB的度数为（ ）
A．99°B．108°C．110°D．117°
第8题图
第7题图
8．如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为（），角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．方程的解为_______．
10．若点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，则m＋n＝________．
11．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+3的图象向右平移1个单位，得到图象的函数表达式是__．
12．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝_____°．
第13题图
第15题图
第14题图
14．如图，⊙O的半径为5cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=（x<0）的图象上，则k的值为______．
16．抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），与y轴交于点（0，n2），对称轴x＝1，则下列结论：①当x＞1时，y随x的增大而增大；②当y＞0时，－1＜x＜3；③；④3a＋c＞0；其中结论正确的序号是_____________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）用适当的方法解方程．
（1）x2﹣6x﹣7＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
18．（8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的图形；
（2）请画出绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形；
（3）求线段的长．
19．（8分）初2019级为了解学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）求测试结果为等级的学生数，并补全条形图；
（2）在扇形统计图中，试求等级对应的圆心角度数；
（3）若从体能为等级的名男生名女生中随机的抽取名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
20．（8分）在矩形AOBC中，OA＝3cm，OB＝4cm，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（x＞0）的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，作直线EF．
（1）若BF＝1cm，求反比例函数解新式；
（2）在（1）的条件下求出△EOF的面积；
（3）在点F的运动过程中，试说明是定值．
21．（10分）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．
22．（10分）某工厂出售一款产品，每件的成本是30元，在投放市场进行试销时发现，销售单价是45元时，每天的销售量是70件；而销售单价每降低1元，每天就可多售出2件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若工厂按照不低于成本价，且不高于50元的销售单价进行销售，则销售单价为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）如果该工厂要使每天的销售利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少？
23．（10分）阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边ABC，将BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．
24．（12分）如图，在半面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，其中点A的坐标为，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上上方的一个动点，过点D作轴，交于点E，过D作，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求l的最大值；
（3）点P是x轴上一动点，将线段绕点P旋转得到，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
1．A
【分析】
把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.
【详解】
解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；
选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；
选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.
2．A
【分析】
将（-2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=，将点（-2，3）代入解析式得k=-2×3=-6，
A、2×(-3)=-6，则此函数的图象也经过点（2，﹣3），该选项符合题意；
B、-3×(-3)=9，则此函数的图象不经过点（﹣3，﹣3），该选项不符合题意；
C、2×3=6，则此函数的图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；
D、-4×6=-24，则此函数的图象不经过点（﹣4，6），该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3．C
【分析】
抛物线的顶点坐标是，由公式可直接得到答案．
【详解】
解：的顶点坐标是，
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标，解题的关键是掌握抛物线的顶点式与顶点坐标．
4．B
【分析】
先把各方程化为一般式，再分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式判断各方程根的情况．
【详解】
解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D．3x2﹣5x+2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
5．A
【分析】
根据增长率为x，关系式为：明年的投资额＝去年的投资额×（1+投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，由题意得：今年的投资总额为2（1+x），明年的投资总额为2（1+x）2，
∴可列方程为2（1+x）2＝8，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到今、明2年的投资额的关系式是解决本题的突破点．
6．D
【分析】
根据题目中二次函数的解析式，可以得到该函数的对称轴和函数图象的开口方向，从而根据二次函数的性质得到y1、y2、y3的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y=mx2-4mx+c（m＞0），
∴该函数的对称轴为直线x=-=2，开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵-1＜0＜＜2，
∴y3＞y1＞y2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．B
【分析】
根据圆周角定理得到，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【详解】
解：BD是O的直径，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．C
【分析】
由“”可证，可得，，由余角的性质可判断②，根据证，得出,易得，则,利用反证法假设,推出矛盾，即可判断①，由“”可证，由勾股定理可判断④．
【详解】
解：四边形是正方形
，，，
将绕点顺时针旋转，
，且，
，
，
，
，
故②正确
根据②中证出，
,
，
则,
若假设，
则，
矛盾，即假设不成立，
即①错误,
，，
故③正确
，
，
；
故④正确
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．
【分析】
利用因式分解法把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可.
【详解】
解：
或
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“若 则或”是解本题的关键.
10．
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，进行求解即可．
【详解】
解：∵点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，
∴m=4，n=-5，
∴m+n=-5+4=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，代数式求值，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
11．
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的法则解答．
【详解】
解：将抛物线的图象向右平移1个单位后所得新抛物线的表达式为，
即．
故答案是：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的法则．
12．
【分析】
由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根据方程的解的意义，求得（a2＋a）的值，由根与系数的关系得到（a＋b）的值，即可求解．
【详解】
解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝＝−1，
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝，
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．
13．56
【分析】
先由圆周角定理得∠ACB＝90°，求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝34°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝56°，
∴∠ADC＝∠ABC＝56°．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．
【分析】
根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】
如图，连接BO，OC，OA，
由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出．
15．
【分析】
连接，交轴于点，设点的坐标为，从而可得，先根据菱形的面积公式和性质可得，从而可得，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】
解：如图，连接，交轴于点，
设点的坐标为，则，
菱形的面积为12，
，即，
解得，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
16．②③
【分析】
根据对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），抛物线与y轴交于点（0，n2），n2≥0，得出抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线增减性可判断①；根据y＞0时，函数图像在x轴上方，取值范围是－1＜x＜3可判断②；根据抛物线对称轴得出
，可判断③；当x=3时，函数值y=9a+3b+c=0，利用③得出3a+c=0可判断④即可．
【详解】
解：∵对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∵抛物线与y轴交于点（0，n2），n2≥0，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；
∴①当x＞1时，y随x的增大而增大；不正确；
当y＞0时，函数图像在x轴上方，取值范围是－1＜x＜3；
∴②当y＞0时，－1＜x＜3正确；
抛物线对称轴为
∴即
∴③正确；
当x=3时，函数值y=9a+3b+c=0，
∴3a+3(2a+b)+c=0，
∴3a+c=0，
∴④3a＋c＞0不正确；
∴其中结论正确的序号是②，③．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查抛物线性质，掌握抛物线性质，抛物线与两轴交点坐标作用是解题关键．
17．（1）x1=7，x2=-1；（2）x1=1，x2=
【分析】
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【详解】
解：（1）∵x2-6x-7=0，
∴（x-7）（x+1）=0，
则x-7=0或x+1=0，
解得x1=7，x2=-1；
（2）∵3x（x-1）=2-2x，
∴3x（x-1）+2（x-1）=0，
∴（x-1）（3x+2）=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意找到关于原点的对称点，顺次连接，则即为所求；
（2）根据题意找到绕原点O按逆时针方向旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（3）根据勾股定理即可求得的长
【详解】
解：（1）如图所示，找到关于原点的对称点，顺次连接，则即为所求；
（2）如图，找到绕原点O按逆时针方向旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（3）
【点睛】
本题考查了中心对称的性质，旋转的性质，勾股定理，找到变换后对应的点是解题的关键．
19．（1）16人，见解析；（2）144°；（3）
【分析】
（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，总人数减去A、B、D人数求得C等级人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以B等级人数占被调查人数的比例即可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：（1）因为10÷20%=50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
测试结果为C等级的学生数为50-10-20-4=16（人）；
补全条形图如图所示：
（3）B等级对应的圆心角度数为；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先求出F点的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）先求出E点坐标，从而分别求出AE，CE，CF的长，再由求解即可；
（3）设点F，点E，则，，推出，，则．
【详解】
解：（1）∵四边形AOBC是矩形，，，
∴F的坐标为（4，1），，，
∵点F在反比例函数的函数图像上，
∴，即
∴反比例函数解析式为；
（2）∵，
∴点E的纵坐标为3，
又∵点E在反比例函数的函数图像上，
∴点E坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴；
（3）设点F，点E，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，三角形面积，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数的相关知识．
21．（1）见解析；（2）图见解析，．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∵DF⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，
∴OE＝OD，
∴OD＝2OE＝2，
∴OA＝OD＝2，
∵AB是⊙O直径，
∴AB＝2OD＝4，
∵AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AE＝OA+OE＝3，
∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，
∴AE＝CE，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，
∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接FG，
在Rt△DOE中，
∵OD＝2，OE＝1
∴DE＝＝＝，
∵OE⊥DF，
∴EF＝DE＝，
∵OD＝OG，
∴OE是△DFG的中位线，
∴OE＝ FG，
∴FG＝2OE＝2，
在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，
∴GE＝＝＝．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．
22．（1）y=（30≤x≤45）；（2）销售单价为50元时，每天的销售利润w（元）最大，最大利润是1200元；（3）每天的销售量最少应为80件
【分析】
（1）根据“每天的销售量是70件；而销售单价每降低1元，每天就可多售出2件，”列出函数关系式即可；
（2）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把w=800代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定最少销售量．
【详解】
解：（1）根据题意得，
=
∴y=（30≤x≤45）；
（2）w=（x-30）[70+2（45-x）]=-2x2+220x-4800=-2（x-55）2+1250，
∵a=-2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵30≤x≤50，对称轴是直线x=55，
∴当x=50时，w最大值=1200；
∴销售单价为50元时，每天的销售利润w（元）最大，最大利润是1200元；
（3）当w=800时，-2（x-55）2+1250=800，
解得x1=40，x2=70（不合题意，舍去）．
∴每天的销售量最少应为70+2（45-40）=80（件）
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．
23．（1）EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，见解析；（3）∠DMB的度数大小不变，见解析
【分析】
（1）利用证明即可；
（2）利用证明，得，，再利用三角形内角和定理可得答案；
（3）过点作于点，于点，由（2）中全等知，则平分，得．
【详解】
解：（1）；
将绕点按逆时针方向旋转，
，
在和中，
，
，
；
（2），，理由如下：
将绕点按逆时针方向旋转度，
，
与是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
（3）不变，理由如下：
过点作于点，于点，
，
，，
，
平分，
，
的度数大小不变．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是证明．
24．（1）抛物线的解析式为；（2）l的最大值为12；（3），，，
【分析】
（1）将代入求解即可得出答案；
（2）由待定系数法求出直线解析式，设点D的横坐标为t，即可表示出D、E、F三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；
（3）分两种情况：当逆时针旋转落在抛物线上和顺时针旋转落在抛物线上，求出点所在直线，与二次函数联立即可求出的坐标．
【详解】
（1）将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线解析式为，
将代入得：，
∴直线解析式为，
设点D的横坐标为t，
则有，，
∵，∴轴，∴轴，
∴D，F的纵坐标相同，
∴，
∴，，
∴矩形的周长为，
∴当时，l的最大值为12；
（3）当逆时针旋转落在抛物线上时，如下图：
设，，
，
，即在上，
，
解得：或，
，，
当顺时针旋转落在抛物线上时，如下图：
，
，即在上，
，
解得：或，
，．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式以及矩形的性质是解题的关键
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）
3．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0B．x2+4x＝﹣4C．2x2﹣4x+3＝0D．3x2＝5x﹣2
5．某中学去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，根据题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
6．二次函数y＝mx2﹣4mx+c（m＞0）的图象点A（0，y1），B，C（﹣1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y2＜y1＜y3
7．如图，BD是O的直径，点A，C在上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°．则∠AGB的度数为（ ）
A．99°B．108°C．110°D．117°
第8题图
第7题图
8．如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为（），角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．方程的解为_______．
10．若点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，则m＋n＝________．
11．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+3的图象向右平移1个单位，得到图象的函数表达式是__．
12．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝_____°．
第13题图
第15题图
第14题图
14．如图，⊙O的半径为5cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=（x<0）的图象上，则k的值为______．
16．抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），与y轴交于点（0，n2），对称轴x＝1，则下列结论：①当x＞1时，y随x的增大而增大；②当y＞0时，－1＜x＜3；③；④3a＋c＞0；其中结论正确的序号是_____________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）用适当的方法解方程．
（1）x2﹣6x﹣7＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
18．（8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的图形；
（2）请画出绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形；
（3）求线段的长．
19．（8分）初2019级为了解学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）求测试结果为等级的学生数，并补全条形图；
（2）在扇形统计图中，试求等级对应的圆心角度数；
（3）若从体能为等级的名男生名女生中随机的抽取名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
20．（8分）在矩形AOBC中，OA＝3cm，OB＝4cm，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（x＞0）的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，作直线EF．
（1）若BF＝1cm，求反比例函数解新式；
（2）在（1）的条件下求出△EOF的面积；
（3）在点F的运动过程中，试说明是定值．
21．（10分）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．
22．（10分）某工厂出售一款产品，每件的成本是30元，在投放市场进行试销时发现，销售单价是45元时，每天的销售量是70件；而销售单价每降低1元，每天就可多售出2件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若工厂按照不低于成本价，且不高于50元的销售单价进行销售，则销售单价为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）如果该工厂要使每天的销售利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少？
23．（10分）阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边ABC，将BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．
24．（12分）如图，在半面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，其中点A的坐标为，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上上方的一个动点，过点D作轴，交于点E，过D作，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求l的最大值；
（3）点P是x轴上一动点，将线段绕点P旋转得到，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
1．A
【分析】
把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.
【详解】
解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；
选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；
选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；
选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.
2．A
【分析】
将（-2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=，将点（-2，3）代入解析式得k=-2×3=-6，
A、2×(-3)=-6，则此函数的图象也经过点（2，﹣3），该选项符合题意；
B、-3×(-3)=9，则此函数的图象不经过点（﹣3，﹣3），该选项不符合题意；
C、2×3=6，则此函数的图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；
D、-4×6=-24，则此函数的图象不经过点（﹣4，6），该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3．C
【分析】
抛物线的顶点坐标是，由公式可直接得到答案．
【详解】
解：的顶点坐标是，
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标，解题的关键是掌握抛物线的顶点式与顶点坐标．
4．B
【分析】
先把各方程化为一般式，再分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式判断各方程根的情况．
【详解】
解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D．3x2﹣5x+2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
5．A
【分析】
根据增长率为x，关系式为：明年的投资额＝去年的投资额×（1+投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】
解：设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率均为x，由题意得：今年的投资总额为2（1+x），明年的投资总额为2（1+x）2，
∴可列方程为2（1+x）2＝8，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到今、明2年的投资额的关系式是解决本题的突破点．
6．D
【分析】
根据题目中二次函数的解析式，可以得到该函数的对称轴和函数图象的开口方向，从而根据二次函数的性质得到y1、y2、y3的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y=mx2-4mx+c（m＞0），
∴该函数的对称轴为直线x=-=2，开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵-1＜0＜＜2，
∴y3＞y1＞y2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．B
【分析】
根据圆周角定理得到，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【详解】
解：BD是O的直径，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．C
【分析】
由“”可证，可得，，由余角的性质可判断②，根据证，得出,易得，则,利用反证法假设,推出矛盾，即可判断①，由“”可证，由勾股定理可判断④．
【详解】
解：四边形是正方形
，，，
将绕点顺时针旋转，
，且，
，
，
，
，
故②正确
根据②中证出，
,
，
则,
若假设，
则，
矛盾，即假设不成立，
即①错误,
，，
故③正确
，
，
；
故④正确
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．
【分析】
利用因式分解法把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可.
【详解】
解：
或
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“若 则或”是解本题的关键.
10．
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，进行求解即可．
【详解】
解：∵点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，
∴m=4，n=-5，
∴m+n=-5+4=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，代数式求值，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
11．
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的法则解答．
【详解】
解：将抛物线的图象向右平移1个单位后所得新抛物线的表达式为，
即．
故答案是：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的法则．
12．
【分析】
由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根据方程的解的意义，求得（a2＋a）的值，由根与系数的关系得到（a＋b）的值，即可求解．
【详解】
解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝＝−1，
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝，
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．
13．56
【分析】
先由圆周角定理得∠ACB＝90°，求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数．
【详解】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝34°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝56°，
∴∠ADC＝∠ABC＝56°．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．
【分析】
根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】
如图，连接BO，OC，OA，
由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出．
15．
【分析】
连接，交轴于点，设点的坐标为，从而可得，先根据菱形的面积公式和性质可得，从而可得，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】
解：如图，连接，交轴于点，
设点的坐标为，则，
菱形的面积为12，
，即，
解得，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
16．②③
【分析】
根据对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），抛物线与y轴交于点（0，n2），n2≥0，得出抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线增减性可判断①；根据y＞0时，函数图像在x轴上方，取值范围是－1＜x＜3可判断②；根据抛物线对称轴得出
，可判断③；当x=3时，函数值y=9a+3b+c=0，利用③得出3a+c=0可判断④即可．
【详解】
解：∵对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∵抛物线与y轴交于点（0，n2），n2≥0，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；
∴①当x＞1时，y随x的增大而增大；不正确；
当y＞0时，函数图像在x轴上方，取值范围是－1＜x＜3；
∴②当y＞0时，－1＜x＜3正确；
抛物线对称轴为
∴即
∴③正确；
当x=3时，函数值y=9a+3b+c=0，
∴3a+3(2a+b)+c=0，
∴3a+c=0，
∴④3a＋c＞0不正确；
∴其中结论正确的序号是②，③．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查抛物线性质，掌握抛物线性质，抛物线与两轴交点坐标作用是解题关键．
17．（1）x1=7，x2=-1；（2）x1=1，x2=
【分析】
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【详解】
解：（1）∵x2-6x-7=0，
∴（x-7）（x+1）=0，
则x-7=0或x+1=0，
解得x1=7，x2=-1；
（2）∵3x（x-1）=2-2x，
∴3x（x-1）+2（x-1）=0，
∴（x-1）（3x+2）=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意找到关于原点的对称点，顺次连接，则即为所求；
（2）根据题意找到绕原点O按逆时针方向旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（3）根据勾股定理即可求得的长
【详解】
解：（1）如图所示，找到关于原点的对称点，顺次连接，则即为所求；
（2）如图，找到绕原点O按逆时针方向旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（3）
【点睛】
本题考查了中心对称的性质，旋转的性质，勾股定理，找到变换后对应的点是解题的关键．
19．（1）16人，见解析；（2）144°；（3）
【分析】
（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，总人数减去A、B、D人数求得C等级人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以B等级人数占被调查人数的比例即可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】
解：（1）因为10÷20%=50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
测试结果为C等级的学生数为50-10-20-4=16（人）；
补全条形图如图所示：
（3）B等级对应的圆心角度数为；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先求出F点的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）先求出E点坐标，从而分别求出AE，CE，CF的长，再由求解即可；
（3）设点F，点E，则，，推出，，则．
【详解】
解：（1）∵四边形AOBC是矩形，，，
∴F的坐标为（4，1），，，
∵点F在反比例函数的函数图像上，
∴，即
∴反比例函数解析式为；
（2）∵，
∴点E的纵坐标为3，
又∵点E在反比例函数的函数图像上，
∴点E坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴；
（3）设点F，点E，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，三角形面积，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数的相关知识．
21．（1）见解析；（2）图见解析，．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∵DF⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，
∴OE＝OD，
∴OD＝2OE＝2，
∴OA＝OD＝2，
∵AB是⊙O直径，
∴AB＝2OD＝4，
∵AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AE＝OA+OE＝3，
∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，
∴AE＝CE，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，
∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接FG，
在Rt△DOE中，
∵OD＝2，OE＝1
∴DE＝＝＝，
∵OE⊥DF，
∴EF＝DE＝，
∵OD＝OG，
∴OE是△DFG的中位线，
∴OE＝ FG，
∴FG＝2OE＝2，
在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，
∴GE＝＝＝．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．
22．（1）y=（30≤x≤45）；（2）销售单价为50元时，每天的销售利润w（元）最大，最大利润是1200元；（3）每天的销售量最少应为80件
【分析】
（1）根据“每天的销售量是70件；而销售单价每降低1元，每天就可多售出2件，”列出函数关系式即可；
（2）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把w=800代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定最少销售量．
【详解】
解：（1）根据题意得，
=
∴y=（30≤x≤45）；
（2）w=（x-30）[70+2（45-x）]=-2x2+220x-4800=-2（x-55）2+1250，
∵a=-2＜0，
∴抛物线开口向下．
∵30≤x≤50，对称轴是直线x=55，
∴当x=50时，w最大值=1200；
∴销售单价为50元时，每天的销售利润w（元）最大，最大利润是1200元；
（3）当w=800时，-2（x-55）2+1250=800，
解得x1=40，x2=70（不合题意，舍去）．
∴每天的销售量最少应为70+2（45-40）=80（件）
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．
23．（1）EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，见解析；（3）∠DMB的度数大小不变，见解析
【分析】
（1）利用证明即可；
（2）利用证明，得，，再利用三角形内角和定理可得答案；
（3）过点作于点，于点，由（2）中全等知，则平分，得．
【详解】
解：（1）；
将绕点按逆时针方向旋转，
，
在和中，
，
，
；
（2），，理由如下：
将绕点按逆时针方向旋转度，
，
与是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
（3）不变，理由如下：
过点作于点，于点，
，
，，
，
平分，
，
的度数大小不变．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是证明．
24．（1）抛物线的解析式为；（2）l的最大值为12；（3），，，
【分析】
（1）将代入求解即可得出答案；
（2）由待定系数法求出直线解析式，设点D的横坐标为t，即可表示出D、E、F三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；
（3）分两种情况：当逆时针旋转落在抛物线上和顺时针旋转落在抛物线上，求出点所在直线，与二次函数联立即可求出的坐标．
【详解】
（1）将代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线解析式为，
将代入得：，
∴直线解析式为，
设点D的横坐标为t，
则有，，
∵，∴轴，∴轴，
∴D，F的纵坐标相同，
∴，
∴，，
∴矩形的周长为，
∴当时，l的最大值为12；
（3）当逆时针旋转落在抛物线上时，如下图：
设，，
，
，即在上，
，
解得：或，
，，
当顺时针旋转落在抛物线上时，如下图：
，
，即在上，
，
解得：或，
，．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式以及矩形的性质是解题的关键
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