甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析）

这是一份甘肃省会宁县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析），共13页。试卷主要包含了数学等内容，欢迎下载使用。


命题人： 审题人： （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题(每小题5分，共60分)
1．在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1~50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为（ ）
A．1，3，5，7，9B．5，15，25，35，45
C．11，22，33，44，50D．12，15，19，23，28
2．用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为
A．B．220C．D．34
3．由辗转相除法得，的最大公约数是（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的终边经过点,且,则
A．B．C．D．
5．一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．如果下面程序运行后输出的结果是72，那么在程序中While后面的“条件”应为（ ）

D


Lp While“条件”
输出
A．B．C．D．
8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）
附随机数表:


A．25%B．30%C．45%D．55%
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cs(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0B．1C．2D．4
10．某商业区要进行“”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区．若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“”信号盲区内的概率约为（ ）．
A．B．
C．D．
11．函数y＝sin，x∈的单调递增区间是
A． B．
C． D．和
12．已知终边上一点的坐标为，则可能是（ ）
A．B．3C．D．
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．为了做一项调查,在、、、四个单位回收的问卷数依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为的样本,若在单位抽取20份问卷,则在单位抽取的问卷份数是_______.
14．把“五进制”数转化为“七进制”数：__________
15．在区间(1，3)内任取1个数x，则满足的概率是_______．
16．已知，则=______．
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)已知,.
（1）求的值；（2）求的值.
18．(本题12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.
(1)求a，b，n的值；
(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．
19．(本题12分)已知函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）若当时，函数的最大值是，求实数的值；
20．(本题12分)某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距，，，进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值和身高在内的人数；
（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．
21．(本题12分)设有关于的一元二次方程．
（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
22．(本题12分)《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：
由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间（精确到小数点后两位数字）.
参考公式：
组号
分组
频数
频率
第一组
[90,100)
5
0.05
第二组
[100,110)
a
0.35
第三组
[110, 120)
30
0.30
第四组
[120,130)
20
b
第五组
[130,140]
10
0.10
合计
n
1.00
年龄
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间
3
4
参考答案
1．B
【分析】
根据系统抽样的间隔为总体容量除以样本容量求解.
【详解】
因为系统抽样间隔为，故编号构成以10为公差的等差数列.
故选：B
【点睛】
本题主要考查抽样方法中的系统抽样，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2．C
【解析】
试题分析：原多项式变形为，即
，
考点：秦九韶算法求多项式的值
点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写为每个括号内为关于x的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为
3．D
【分析】
利用辗转相除法代入逐步计算.
【详解】
因为，，，所以根据辗转相除法可得，的最大公约数是.
故选：D
4．A
【分析】
由正弦函数定义求出，再根据正切函数定义求得正切值．
【详解】
,
,解得(负值舍去).
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题关键．
5．A
【分析】
计算从4个球中摸出2个球的所有可能结果数，然后计算摸出1个黑球，1个白球的结果数，利用古典概型的概念可得结果.
【详解】
由题可知：从4个球中摸出2个球的所有可能结果数为
则摸出1个黑球，1个白球的结果数为
所以所求概率为
故选：A
【点睛】
本题考查古典概型的计算，审清题意，细心计算，属基础题.
6．D
【分析】
分子分母同除以，可化为关于的式子，代入即可求解.
【详解】
,
,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.
7．B
【分析】
根据循环语句依次执行，判断可得选项.
【详解】
计数变量i的初始值为9，累积变量S的初始值为1，第1次循环后得S=9，i=8.
因为9≠72，故执行第2次循环，得，i=7，满足，退出循环.结合选项，所以“条件”应为i≥8.
故选：B.
【点睛】
本题通过D Lp循环语句考查程序填充问题，属于基础题.
8．C
【分析】
根据随机模拟试验以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
三天中恰有一天下雨的次数为：
，共次，
所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为.
故选：C
【点睛】
本题考查了随机模拟试验、古典概型的概率计算公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
9．C
【详解】
试题分析：因为y＝cs(＋)(x∈[0,2π]),即(x∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y＝的交点有两个.
考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像.
点评：本小题关键是利用诱导公式把y＝cs(＋)(x∈[0,2π])转化为(x∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y＝的交点个数.
10．D
【分析】
设正六边形的边长为，利用扇形面积公式求解得阴影部分面积，然后再计算正六边形的面积，利用几何概型的公式和对立事件代入求解概率.
【详解】
如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域，
设正六边形的边长为，
则，
，
则该游客刚好在“”信号盲区内的概率约为：
故选：D.
11．D
【解析】
试题分析：令z＝－x，函数y＝sin z的单调递减区间为，
由2kπ＋≤－x≤2kπ＋得 4kπ－≤x≤4kπ－，
而z＝－x在R上单调递减，
于是y＝sin的单调递增区间为，
而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是和.
故选D．
考点：三角函数的性质．
12．A
【分析】
根据得为第一象限角，再根据三角函数的定义计算得，则答案可得.
【详解】
解：因为，所以为第一象限角，排除BD，
所以可能是.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，是基础题.
13．
【解析】
试题分析：∵在、、、四个单位回收的问卷数依次成等差数列，
∴从回收的问卷中按单位分层抽取的问卷分数也成等差数列，
∵单位抽20份，∴设公差为，则、、依次为
∵共份，∴解得．
在单位抽取的问卷份数是（份）．
考点：1.等差数列；2.分层抽样.
14．152
【解析】
,
把十进制化为七进制:
所以,故填152.
15．
【解析】
【分析】
解对数不等式求出中的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案．
【详解】
由得，解得．
根据几何概型概率公式可得，所求概率为．
故答案为：
【点睛】
本题考查长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求的概率，属于基础题．
16．-4
【解析】
【分析】
把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果
【详解】
解：∵，
∴，
∴
则
故答案为：-4
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题
17．(1) ；(2) 4.
【分析】
(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出,即可求得的值；(2)把要求的式子利用诱导公式化为,进而而求得结果.
【详解】
(1) 因为，， 故，所以，
(2)
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
18．（1），，；（2）.
【解析】
试题分析：（1）依题意，得，，，即可求解、、的值；（2）由第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，则第三、四、五组的人数，设出第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，即可利用古典概型求解其概率.
试题解析：（1）依题意，得，，，
解得，，；
（2）因为第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，
则第三、四、五组分别抽取名，名，名.
第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，
则从名学生中随机抽取名，共有种不同取法，具体如下：，，，，，，，，，，，，，，，其中第三组的名学生、、没有一名学生被抽取的情况有种，具体如下：、、，
故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为.
考点：分层抽样；古典概型及其概率的计算.
19．（1）（2）
【分析】
（1）时，可得到，可令t＝sinx，并得到二次函数y＝﹣t2+t+1，配方即可求出该函数的最大、最小值，即得出f（x）的值域；
（2）化简f（x）并配方得到，讨论：，，分别求出对应的f（x）的最大值，根据f（x）的最大值为，即可求出实数的值．
【详解】
解：（1）当时，，
令t＝sinx， ≤t≤1；
则，
当时，函数的最大值是，
当时，函数的最小值是，
∴函数的值域，
（2）当时，
当时，当且仅当 时，，
又函数的最大值是，∴；
当当时，当且仅当 时，，
又函数的最大值是，∴，
∴，又，不适合题意；
综上：实数的值为
【点睛】
本题考查正弦型二次函数的最值与值域，考查换元法与分类讨论思想，属于中档题.
20．（1）0.0450；18人，（2）．
【分析】
（1）根据频率分布直方图和频率的定义可得的值，计算身高在内的频率，由此能估计身高在内的人数；
（2）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，直接计算可得平均身高的估计值.
【详解】
（1）由图可得，，三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250
所以
所以身高在内的人数为：（人）
（2）这40个学生平均身高的估计值为
所以这40个学生平均身高的估计值为．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用以及平均数的计算问题，属于基础题.
21．（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】
（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程当时有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，．构成事件的区域为，，．根据几何概型公式得到结果．
【详解】
解：设事件为“方程有实数根”．当时，方程有实数根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．
（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为，所求的概率为
【点睛】
本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题．
22．（1）；（2），小时.
【分析】
（1）设污损的数字为x，求出平均数根据题意列出不等式，解不等式求出，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）根据表中数据求出，再利用回归直线过样本中心点求出，即可求出回归直线方程，根据回归直线方程即可估计结果.
【详解】
（1）设污损的数字为x，由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得：
，即，
记所求事件为A，；
（2），，
，
又，，
，，
，时，.
答：年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为小时.
【点睛】
本题考查了茎叶图求平均数、古典概型的概率计算公式、最小二乘法求回归直线方程，属于基础题.