专题强化练4　椭圆与双曲线的综合应用-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练4　椭圆与双曲线的综合应用

　一、选择题

1.(2020湖北荆州滩桥高级中学高二下期末,)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)以椭圆C2:+=1的焦点为顶点,左、右顶点为焦点,则双曲线C1的渐近线方程为              (　　)

A.x±y=0　　　　　　　B.x±y=0

C.2x±y=0　　　　　　　D.x±2y=0

2.()椭圆+=1与双曲线y2-=1有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为              (　　)

A.48　　　　B.24　　　　C.24　　　　D.12

3.(2021湖北武汉实验高级中学高二上第一次质量检测,)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为              (　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5

4.()已知两定点A(0,-2)、B(0,2),点P在椭圆+=1上,且满足|PA|-|PB|=2,则·= (　　)

A.-9　　　　B.9　　　　C.-12　　　　D.12

5.()已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1、e2,则+=              (　　)

A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3

6.()若椭圆E:+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1、F2,双曲线-=1的一条渐近线与椭圆E在第一象限交于点P,线段PF2的中点的纵坐标为0,则椭圆E的离心率e等于              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

7.(多选题)(2020福建南安第一中学高二上第二次月考,)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1(m>n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则下列结论正确的是              (　　)

A.椭圆的离心率e1=-1

B.双曲线的离心率e2=2

C.椭圆上不存在点A使得·<0

D.双曲线上存在点B使得·<0

二、填空题

8.(2021吉林榆树第一高级中学高三10月月考,)已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的方程为　　　　. 

9.(2021江苏徐州高二上第一次学情调研,)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则b2=　　　　. 

三、解答题

10.()已知a>b>0,如图,曲线Γ由曲线C1:+=1(y≤0)和曲线C2:-=1(y>0)组成,其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点,点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点.

(1)若F2(2,0),F3(-6,0),求曲线Γ的方程;

(2)如图,作直线l平行于曲线C2的渐近线,交曲线C1于点A,B,求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上.

答案全解全析

一、选择题

1.A　因为椭圆C2:+=1的焦点为(±1,0),左顶点为(-2,0),右顶点为(2,0),且双曲线C1:-=1(a>0,b>0)以椭圆C2:+=1的焦点为顶点,左、右顶点为焦点,所以a=1,c=2,则b==,

即双曲线C1的方程为x2-=1,令x2-=0,得x±y=0,

即双曲线C1的渐近线方程为x±y=0.

故选A.

2.B　不妨设点P在第一象限,如图,结合双曲线的性质,可得F1(0,5),F2(0,-5),

联立可得点P的坐标为,

故=×|F1F2|×=24,故选B.

3.B　∵双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,

∴m+n=5-2=3,

∴+=(m+n)=×≥×=3,

当且仅当=,即m=2n时等号成立,此时m=2,n=1,故+的最小值为3.

故选B.

4.B　设P(x,y).由|PA|-|PB|=2,可知点P的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支,且2a=2,c=2,∴a=1,∴b=,

∴点P的轨迹方程为y2-=1(y>0),

联立解得x2=9,y2=4,

则·=(x,y+2)·(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9.

故选B.

5.B　如图,

设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,根据椭圆和双曲线的定义,

可得|AB|+|BC|=2a1,|BC|-|AB|=2a2,所以|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2.

设|AC|=2c,

则在直角三角形ABC中,由勾股定理可得

4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2,即+=2c2,

即+=2.

故选B.

6.C　由题易得椭圆E的下焦点为F2(0,-),点P所在的双曲线的渐近线方程为y=x,

因为线段PF2的中点的纵坐标为0,所以点P的纵坐标为,

将其代入y=x,可得点P,

再将点P的坐标代入椭圆方程,得+=1,解得=,

所以离心率e==.

故选C.

7.ABD　如图,设|F1F2|=2c,由正六边形的性质可得点I,

由点I在椭圆上,可得+=1,结合a2-b2=c2可得=2-3(负值舍去),

∴椭圆的离心率e1===-1,

∴2a2-(2c)2=[2-4(-1)2]a2<0,

∴当点A为椭圆的上顶点时,cos∠F1AF2<0,此时·<0;

又点I在双曲线N:-=1(m>n>0)的渐近线上,∴·=c,即=,

∴双曲线的离心率e2===2,

易知当点B为双曲线的顶点时,·<0.

故选ABD.

二、填空题

8.答案　-y2=1

解析　由题易知椭圆焦点为(±,0),

∴在双曲线中,c=,

设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则=,由解得

∴此双曲线的方程为-y2=1.

9.答案　

解析　易知圆的直径|AB|=2a,不妨设与圆交于A,B两点的双曲线的渐近线方程为y=2x,C点的横坐标为m,C,D为AB的三等分点,则点C(m,2m),如图,由题意可知|OC|=,且点C在椭圆上,

所以消去m,

得=1,故a2=11b2,

又双曲线和椭圆有公共的焦点,所以a2-b2=1+4=5,所以b2=.

三、解答题

10.解析　(1)若F2(2,0),F3(-6,0),

则解得

则曲线Γ的方程为+=1(y≤0)和-=1(y>0).

(2)证明:易得曲线C2的渐近线方程为y=±x,

结合题图可设直线l:y=(x-m),

联立

得2x2-2mx+m2-a2=0,

∴Δ=4m2-8(m2-a2)>0,

解得-a<m<a,

又直线l与曲线C1有两个交点,

故a<m<a.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

则x1+x2=m,x1x2=,

∴x0=,y0=-,

∴y0=-x0,即点M在直线y=-x上.