福建省南平市高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份福建省南平市高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 总分：150分
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知是虚数单位，设复数，其中，则的值为
A．B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则不是共线向量
3．如图所示的三棱柱中，过的平面与平面交于，则与的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能
4．在中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
5．在中，，，，则
A. 或B. C. 或D.
6．在m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是、，则塔高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
7. .在中，角的对边分别为，若，则的形状为
A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形
8．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9．设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列四个命题正确的是：
A.若，，则；B.若，，，，则；
C.若，，则；D.若，，，，则.
10、下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题： ①； ②； ③的共轭复数为；④ 若，则的最大值为．其中正确的命题有( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
11．已知中，角的对边分别为，为边上的高，以下结论：
A. ； B. 为锐角三角形；
C. ； D.
其中正确的选项是
12、如图，是以为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，是的中点，与分别是以、为底边的等边三角形，现将与分别沿与向上折起（如图），则在翻折的过程中下列结论可能正确是

图 图
A.直线直线 B.直线直线
C.平面平面 D.直线直线
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．平面向量与的夹角为，，，则 .
14．已知复数，若复数对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为_________．
15. 已知船在灯塔北偏东且到的距离为， 船在灯塔北偏西且到的距离为，则，两船的距离为________．
16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 。
四.解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知向量，，.
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.
18．(本题满分12分) 半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长2,
（1）求其体积;
（2）若其各个顶点都在同一个球面上,求该球的表面积.
19．(本小题满分12分) 正三棱柱中，是的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线、所成的角的正弦值．
20. (本小题满分12分) 如图，在平面四边形中，，，.
（1）若，，求的长
（2）若，，求的值.
21. (本小题满分12分) 如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，记折起的三角形为，且.
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求的大小；
（2）的面积等于，为边的中点，当中线长最短时，求边长.
南平市高级中学2020-2021学年第二学期
高一年段数学半期考答案
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.CD 10.BD 11.ABD 12.ABC
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
四.解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
（1）由已知得，，
所以，即，解得；…………5分
（2）由已知得，
因为，所以，解得………………10分
18．(本题满分12分)
将二十四正多面体放入正方体中,如下图所示,
由于二十四等边体的棱长为2,则正方体的棱长为. ………………2分
(1)该二十四正四面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得,
所以该二十四正四面体的体积为.………………8分
(2)由于正方体的中心到正方体各棱中点的距离都为,
所以该二十四正四面体外接球的球心为,且半径为,其表面积为.………………12分
19．(本题满分12分)
（1）连接交于点，连接
为中位线 …………3分
平面 平面
平面 …………5分
（2） 直线与所成的角即为异面直线、所成的角………………7分
在中
……………………10分
……………………12分
20．(本题满分12分)
（1）在中，.1分
在中，，所以，3分
所以.4分
在中，由余弦定理得，
所以.6分
（2）设，则，，8分
在中，由正弦定理得，化简得，
10分
代入，得，11分
又为锐角，所以，即.12分
21．(本题满分12分)
22．(本题满分12分)
（1）由得 …………2分
即， …………4分
，，从而
而，所以； …………6分
（2），， …………7分
在中，由余弦定理可得， ………………9分
当且仅当时，即当，时，等号成立. ………………10分
此时，故.……12分