人教B版数学必修1 素养等级测评2 试卷

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素养等级测评二
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果a>0，b>c>0，则下列不等式中不正确的是(　C　)
A．－a＋b>－a＋c　 B．ab－ac>0
C．>　 D．>
解析：A中，b>c两边同时加－a，不等号方向不变，正确；B中，b>c两边同时乘以a，因为a>0，所以不等号方向不变，正确；C中，若b＝2，c＝1，则<，错误；D正确．故选C．
2．(2019·昆明一中高一期中)已知集合A＝{x|4－x2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B＝(　B　)
A．{x|x≤－3}　 B．{x|－3 C．{x|－2 解析：∵A＝{x|4－x2<0}＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x2＋3x<0}＝{x|－3 3．若关于x的不等式(x－2m)[x－(3－m)]>0的解集为{x|x<3－m或x>2m}，则实数m的取值范围是(　D　)
A．m<1　 B．m≤1
C．m>1　 D．m≥1
解析：由题意，得2m≥3－m，解得m≥1.故选D．
4．(2019·安庆一中高一期中)若不等式ax2－x＋a>0对所有的实数x都成立，则实数a的取值范围为(　C　)
A．a<－或a>　 B．a>或a<0
C．a>　 D．0 解析：a＝0时，不等式显然不恒成立，所以由不等式ax2－x＋a>0对所有的实数x都成立，得，解得a>，故选C．
5．已知a，b>0且a＋b＝1，给出下列不等式：①ab≤；②ab＋≥；③＋≤；④＋≥2.其中正确的序号是(　C　)
A．①②　 B．②③④
C．①②③　 D．①③④
解析：∵a，b>0，a＋b＝1，∴ab≤()2＝；ab＋＝ab＋＋≥＋≥＋＝；(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋a＋b＝2，即＋≤，故①②③正确．而④不正确，(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋≠2.
6．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)　 B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)
C．(－2,4)　 D．(－4,2)
解析：∵＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝时，等号成立．∵x＋2y>m2＋2m恒成立，∴m2＋2m<8，解得－4 7．若某商店将进货单价为8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件，现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，售价应定为(　B　)
A．12元　 B．12元到16元之间
C．16元　 D．10元到14元之间
解析：设每件商品的售价提高x(0≤x≤10)元，则每件获得利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件．设该商品每天的利润为y元，则由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200，要保证每天的利润在320元以上，则－10x2＋80x＋200>320.即x2－8x＋12<0，解得2 8．(2019·鹤岗一中高一期中)在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为(　C　)
A．{m|－2 C．{m|－3 解析：(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　AC　)
A．x＝或－
B．x＝－或
C．AB的中点C()或()
D．AB的中点C(－)或()
解析：由题意AB＝|x－3|＝，所以x－3＝±，x＝或－，所以AB中点对应的数为＝或＝.
10．下列说法中，正确的是(　ABD　)
A．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2
B．若a，b∈R，则a3b3≤
C．若a>0，b>0，则(a－1)＋(b－1)≥
D．若a，b∈R，则ab≤()2
解析：对于A，由(a2－b2)2≥0，得a4＋b4≥2a2b2，故A正确；对于B，由(a3－b3)2≥0，得a6＋b6≥2a3b3，即a3b3≤，故B正确；对于C，虽然a>0，b>0，但不一定有a－1>0，b－1>0，故C不一定成立，故C不正确；对于D，由均值不等式≥，得ab≤()2，故D正确．故选ABD．
11．已知方程x2－(p－1)x＋q＝0的解集为A，方程x2＋(q－1)x＋p＝0的解集为B，A∩B＝{－2}，则(　AD　)
A．A∪B＝{－2，－1,1}　 B．A∩(∁RB)＝{2}
C．(∁RA)∩B＝∅　 D．(∁RA)∩B＝{1}
解析：A∩B＝{－2}，则将x＝－2代入方程，得，解得，则方程x2－(p－1)x＋q＝0为x2＋3x＋2＝0，即(x＋2)·(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝－2，所以A＝{－1，－2}．方程x2＋(q－1)x＋p＝0为x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，解得x3＝1，x4＝－2，所以B＝{1，－2}，所以A∪B＝{－2，－1,1}，A∩(∁RB)＝{－1}，(∁RA)∩B＝{1}．故选AD．
12．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列结论错误的是(　ACD　)
A．b－a>0　 B．b＋a>0
C．a3＋b3<0　 D．a2－b2<0
解析：a－|b|>0⇒a>|b|≥0.对于A选项，a>|b|≥b，所以b－a<0，故A错误；对于B选项，a>|b|≥－b，所以a＋b>0，故B正确；对于C选项，a>|b|⇒a3>|b|3≥－b3，所以a3＋b3>0，故C错误；对于D选项，a>|b|⇒a2>b2，所以a2－b2>0，故D错误．故选ACD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．设A＝－，B＝－，则A__>__B(填“>”或“<”)．
解析：A＝－＝＝，
B＝－＝＝，
因为<，<，所以＋<＋，
所以>，即A>B.
14．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为__(－，－)__.
解析：依题意知方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，根据根与系数的关系可求得a＝5，b＝－6，所以所求解的不等式为6x2＋5x＋1<0，解得－ 15．建造一个容积为18 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果水池底和水池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为__5_400__元．
解析：设水池底的长为x m，宽为y m，则有2xy＝18，得xy＝9.这时水池的造价p＝200xy＋150×2(2x＋2y)，即p＝1 800＋600(x＋y)，于是p≥1 800＋600×2＝1 800＋600×6＝5 400，当且仅当x＝y＝3时等号成立，故水池的最低造价为5 400元．
16．如果命题p：∀x>0，＋9x≥5m＋7为真命题，则实数m的取值范围是__{m|m≤1}__.
解析：命题p为真命题，即当x>0时，不等式＋9x≥5m＋7恒成立．又当x>0时，＋9x≥2＝12，当且仅当＝9x，即x＝时，＋9x取得最小值12，故5m＋7≤12，解得m≤1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列解集：
(1)
(2)－4x2＋4x－1<0.
解析：(1)由①得y＝2x，③
将③代入②得x2－(2x)2＋3＝0，解得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝－2.
∴方程组的解集是{(x，y)|(1,2)，(－1，－2)}．
(2)不等式两边同乘－1得4x2－4x＋1>0.
先解4x2－4x＋1＝0，其中a＝4，b＝－4，c＝1，
∴x＝，解得x1＝x2＝，
∴－4x2＋4x－1<0的解集为{x|x≠}．
18．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
解析：原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即(x＋)(x－)<0.
①当－<，即a>0时，－ ②当－＝，即a＝0时，原不等式的解集为∅；
③当－>，即a<0时， 综上知，当a>0时，原不等式的解集为{x|－ 当a＝0时，原不等式的解集为∅；
当a<0时，原不等式的解集为{x| 19．(12分)已知y＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)当x＝1时，求关于a的不等式大于0的解集；
(2)若不等式－3x2＋a(6－a)x＋6>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解析：(1)当x＝1时，y＝－a2＋6a＋3.
∴不等式为－a2＋6a＋3>0，解得3－2 ∴所求不等式的解集为(3－2，3＋2)．
(2)∵－3x2＋a(6－a)x＋6>b，
∴3x2－a(6－a)x＋b－6<0，
∴－1,3是方程3x2－a(6－a)x＋b－6＝0的两根，
∴解得
20．(12分)已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．
解析：(1)因为Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1>0，
所以不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)由于无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，
故若要△ABC为等腰三角形，那么方程必有一个根为8.
不妨设AB＝x1＝8(x1是方程的一个根)，
则有82－8(2m＋1)＋m(m＋1)＝0，
即m2－15m＋56＝0，解得m＝7或8，
故当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8.
21．(12分)设实数x，y满足2x＋y＝1.
(1)若|2y－1|－2|x|<3，求x的取值范围；
(2)若x>0，y>0，求证：＋－≥.
解析：(1)由2x＋y＝1，得y＝1－2x，所以不等式|2y－1|－2|x|<3，即为|4x－1|－2|x|<3，
所以有或或
解得－1 所以x的取值范围为{x|－1 (2)证明：因为x>0，y>0,2x＋y＝1，
所以＋＝(＋)(2x＋y)＝4＋＋≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号．
又－≥－＝－，
当且仅当2x＝y＝时取等号，
所以＋－≥，
当且仅当2x＝y＝时取等号．
22．(12分)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示)．池四周围墙的建造价格为400元/米，中间两道隔墙的建造价格为248元/米，池底的建造价格为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

解析：设污水处理池的长为x米，总造价为y元，则污水处理池的宽为米．
由题知y＝(2x＋×2)×400＋248×2×＋80×200
＝800x＋＋16 000≥
2＋16 000
＝2×800×18＋16 000＝44 800.
当且仅当800x＝，即x＝18时，y取得最小值．
所以当设计污水处理池的长为18米，宽为米时，总造价最低，最低总造价为44 800元．