寒假作业10 第四章数列 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业10 第四章数列 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1B．2C．D．
2．数列满足，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（ ）
A．-1B．1C．-3D．3
4．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．3
5．等差数列满足：，且它的前项和有最大值，则（ ）
A．是中最大值，且使的的最大值为2019
B．是中最大值，且使的的最大值为2020
C．是中最大值，且使的的最大值为4039
D．是中最大值，且使的的最大值为4040
6．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论不正确的是（ ）
A．长安与齐国两地相距1530里B．3天后，两马之间的距离为328.5里
C．良马从第6天开始返回迎接驽马D．8天后，两马之间的距离为390里
7．已知数列是等差数列，若，，依次构成公比为q的等比数列，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知数列的首项为，且满足，其前项和为，则满足不等式的的最小正整数值为（ ）
A．B．10C．D．
二、多选题
9．下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
10．已知等比数列的各项均为实数，公比为q，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论错误的是（ ）
A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1
C．Tn>anD．Tn12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有(a1＋a2＋…＋an)an＝(a1＋a2＋…＋an－1)an＋1(n≥2，n∈N*)，a1＝a2＝1.数列的前n项和为Tn，则以下结论正确的是（ ）
A．an＝1B．Sn＝2n－1
C．D．{Tn}为增数列
三、填空题
13．已知数列的前n项和，则____________
14．已知为等差数列，，，且、、成等比数列，则___________.
15．在数列{an}中，＝2n－1(n∈N*)，且a1＝1，若存在n∈N*使得an≤n(n＋1)λ成立，则实数λ的最小值为________．
16．已知数列{an}的前n项和，设数列{cn}满足:(为非零常数，)，存在整数，使得对任意，都有，则________.
四、解答题
17．已知各项均为正数的等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求的前项和.
18．数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知数列中，，，设．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
20．已知等差数列中，等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，比较与的大小.
21．已知各项都为正数的等差数列的前项和为，且，且，，构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
22．已知为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
参考答案
1．D
【分析】
根据等差数列的性质及条件，可得公差.
【详解】
因为，所以.
故选：D.
2．D
【分析】
由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，由此可分组求和.
【详解】
解：因为且为奇数时，
所以所有奇数项构成为首项，为公差的等差数列，
又因为且为偶数时，，
即所有偶数项构成为首项，为公比的等比数列，
所以
.
故选：D.
3．B
【分析】
由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.
【详解】
解：在等比数列中，由题意知：，，
所以，，所以且，即.
故选：B.
4．A
【分析】
通过已知条件依次求出的值，从而可得数列是以4为周期的周期数列，从而利用周期可求出答案
【详解】
因为，，
所以，
，
，
，
所以数列是以4为周期的周期数列，
所以，
故选：A
5．C
【分析】
根据已知条件判断出且，由此求得的最大值以及使的的最大值.
【详解】
由及有最大值可知，且，∴最大；
又，，
∴使的n的最大值为4039 .
故选：C
6．C
【分析】
根据给定条件可得良马和驽马每天的里程数形成等差数列，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】
设良马第n天行走的里程数为，驽马第n天行走的里程数为，则，，
良马这9天共行走了里，驽马这9天共行走了里，
依题意，两马9天走的总里程相当于一匹马走了一个来回，则长安与齐国两地相距里，A正确；
3天后，良马行走了里，驽马共行走了里，它们的距离为328.5里，B正确；
良马前6天共行走了里里，则良马行走6天还未到达齐国，C不正确；
良马前7天共行走了里里，则良马第7天到达齐国并返回迎接驽马，
8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由，
则8天后，两马之间的距离为390里，D正确.
故选：C
7．C
【分析】
设出等差数列的公差，由，，构成公比为q的等比数列，列式求出公差，则由化简得答案.
【详解】
设等差数列的公差为d，
由，，构成等比数列，
得：，
整理得：
即．
化简得：，即．
．
故选：C．
8．B
【分析】
利用构造法可得数列的通项公式，以及前项和，解不等式即可.
【详解】
由，即，
得，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
，
所以即为，
即，，，
所以，
故选：B.
9．AD
【分析】
利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．
【详解】
解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；
对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；
对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．
故选：AD.
10．ABC
【分析】
由等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，可判断A、B、C、D的结论是否正确．
【详解】
显然.A：因为，所以，因此本选项正确；
B：由，而，显然
，因此本选项正确；
C：由，
，
因此本选项正确；
D：由，，
因此本选项不正确.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】
由题意可得Sn＝3×2n－3，由此可得数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1(n∈N*)，则数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)，从而可求得Tn＝2n－1，进而可分析判断结论
【详解】
由题意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3，满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1(n∈N*)．
设等比数列{bn}的公比为q，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，解得b1＝1，q＝2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)，
由等比数列的求和公式有Tn＝2n－1.
则有Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn所以ABC错误，D正确，
故选：ABC
12．BD
【分析】
由已知条件可得数列{Sn}是等比数列，从而可得Sn＝2n－1，Sn＋1＝2n，Sn＋2＝2n＋1，则可得，再利用裂项相消法可求得，进而可判断
【详解】
由(a1＋a2＋…＋an)an＝(a1＋a2＋…＋an－1)an＋1，得Sn(Sn－Sn－1)＝Sn－1(Sn＋1－Sn)，
化简得，根据等比数列的性质得数列{Sn}是等比数列．
易知S1＝1，S2＝2，故{Sn}的公比为2，则Sn＝2n－1，Sn＋1＝2n，Sn＋2＝2n＋1，
所以.
由裂项相消法得.故B正确，C错误，D正确．
根据Sn＝2n－1知，当时，，所以A选项错误，
故选：BD.
13．162
【分析】
本题根据公式代入进行计算即可得到结果．
【详解】
解：由题意，可知，
故答案为：162．
14．
【分析】
设等差数列的公差为，则，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
由可得，整理可得，可得，
所以，，可得，因此，.
故答案为：.
15．##
【分析】
由题意可得，记，则，数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最小项是b1＝，从而可求得结果
【详解】
依题意得，数列的前n项和为2n－1，
当n≥2时，＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，且＝21－1＝21－1，
因此＝2n－1(n∈N*)，，
记，则，，
所以bn＋1>bn，
所以数列{bn}是递增数列，数列{bn}的最小项是b1＝.
依题意得，存在n∈N*使得成立，即有λ≥b1＝，λ的最小值是.
故答案为：
16．-1
【分析】
根据，利用数列通项和前n项和的关系，求得，再由，得到，然后根据对任意，都有，转化为任意，存在整数，都有，分，讨论求解.
【详解】
因为，
所以，即，
当时，，
所以，即，
所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以，则，
因为，
所以，
所以，
因为对任意，存在整数，都有，
所以对任意，存在整数，都有，
即对任意，存在整数，都有，
当时，成立，
当时，成立，
所以，
又因为为非零常数，
所以，
故答案为：-1
17．
（1）或
（2）
【分析】
（1）各项均为正数的等差数列的公差为，再用首项表示已知条件解方程组，最后运用等差数列的通项公式可求解；
（2）根据等差数列、等比数列的前项和公式求解即可.
（1）
设各项均为正数的等差数列的公差为.
由，且.
得解之得或
故或.
（2）
由于，所以.
所以.
根据等差数列、等比数列的前项和公式，
得.
18．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用可求得数列的通项公式；
（2）求得数列的通项公式，推导出该数列为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得.
（1）
解：.
当时，，即，
当时，，则，
显然时也满足，故对任意的，.
（2）
解：由（1）知，所以，，
则，且，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，数列的前项和.
19．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）根据题意化简得到，结合等差数列的定义，即可求解；
（2）由（1）得到，即可求得的通项公式．
（1）
证明：因为，所以．
则，
所以是首项为，公差为的等差数列．
（2）
解：由知，所以，解得，
所以的通项公式为.
20．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，则，观察分析即可得出结果.
（1）
设等差数列的公差为，所以由，
得，
所以，从而，
所以，所以.
（2）
由（1）可知，所以，
当时，为正值﹐所以；
当时，为负值﹐所以；
当时，为正值﹐所以.
21．
（1）
（2）
【分析】
（1）由题意列出方程组，解出公差即可得出通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的和即可.
（1）
设等差数列的公差为.
因为，所以，解得，
因为，，构成等比数列，
所以，即，
化简得，解得或，
而数列的各项都为正数，所以舍去，
所以，所以数列的通项公式为
（2）
由（1）可知，，
则，①
，②
由①②，得
，
所以.
22．
（1）
（2）
【分析】
（1）利用与的关系可得，再利用等差数列的定义及条件即求；
（2）由题可得，再分组求和即得.
（1）
当时，，又，所以；
当时，，所以，即，
所以，
所以，
化简，得，即当时，，
所以为等差数列，
又，，
所以公差，所以．
（2）
由（1）知为以为首项，为公差的等差数列，所以，
所以，
所以