初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试单元测试课后练习题

这是一份初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试单元测试课后练习题，共13页。试卷主要包含了附加题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cs A的值是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,3)
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝eq \f(3,5)，则斜边上的高等于( )
A.eq \f(16,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(64,25) D.eq \f(48,25)
4.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1： 的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（ ）
A. 8m B. 12m C. 14m D. 16m
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．5÷tan26°＝B．5÷sin26°＝C．5×cs26°＝D．5×tan26°＝
6．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．ctA＝
9．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A．B．C．D．2
二．填空题
11.先用计算器求：cs20°≈________，cs40°≈________，cs60°≈________，cs80°≈________，再按从大到小的顺序用“＞”把cs20°，cs40°，cs60°，cs80°连接起来：________．归纳：余弦值，角大值________．
12Rt△ABC中，∠A = 3∠C = 90°，AB = 3，点Q在边AB上且BQ = ，过Q作QF∥BC交AC于点F，点P在线段QF上，过P作PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交BC于点E，当P到△ABC的三边的距离之和为3时，PD + PE + PF =________.
13.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行 ________里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
14.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________ 海里．
15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cs∠ABC＝ ．
16．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcsθ﹣c＝0；②acsθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： ．
17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cs∠E＝，则的值是 ．
三．解答题
18.如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹角∠CAB=37°，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA=45°.问湛河的宽度约多少米?(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°=0.80，tan37°=0.75)
19.我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为B，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到1米．参考数据：sin68°≈0.93，cs68°≈0.37， tan68°≈2.50， ≈1.73）．
20.如图，山顶建有一座铁塔，塔高 米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为 ，塔顶C点的仰角为 已测得小山坡的坡角为 ，坡长 米 求山的高度 精确到1米 参考数据：
21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果保留根号)
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的表达式；
(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．
23．如图，有一艘渔船在作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A，B上的观测点进行观测．从A岛测得渔船在南偏东37°方向的C处，B岛在南偏东66°方向；从B岛测得渔船在正西方向．已知两个小岛间的距离为72海里．A岛上维修船的速度为20海里/时，B岛上维修船的速度为28.8海里/时．为及时赶到维修，调度中心应派遣哪个岛上的维修船前去维修？(参考数据：cs 37°≈0.8，sin 37°≈0.6，sin 66°≈0.9，cs 66°≈0.4)
24．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，csA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cs260°＝1，…试探求sinA、csA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝．
故选：C．
D 3. D 4. D
5．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC•tanB＝5×tan26°．
故选：D．
6．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC＝＝，
故选：C．
7．解：sinA＝＝0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
8．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴由勾股定理可得AB＝17，
∴sinA＝＝，故A选项错误；
csA＝＝，故B选项错误；
tanA＝＝，故C选项错误；
ctA＝＝，故D选项正确；
故选：D．
9．解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE＝∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则AE＝＝，AF＝＝2，EF＝＝3，
∵（）2+（3）2＝（2）2，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，
∴sin∠FAE＝＝＝，
∴sin∠BOD＝，
故选：B．
10．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
二．填空题
11 0.9397；0.7660；0.5；0.1736；cs20°＞cs40°＞cs60°＞cs80°；小 12.
13 . 14.25 15．解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴cs∠ABC＝，
故答案为：．
16．解：由①得 asinθ+bcsθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cs2θ+2absinθcsθ＝c2③
由②得 acsθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cs2θ+b2sin2θ﹣2absinθcsθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cs2θ）+b2（sin2θ+cs2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
17．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cs∠E＝＝csα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acsα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acsα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acsα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acsα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
三．解答题
18.解：过C作CD⊥AB于点D，
设CD=x米．
在Rt△BDC中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=x ．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=37°，∴AD= ．
∵AB=AD+DB=140，∴ ，∴x=60．
答：湛河的宽度约60米．
19 解：在RT△BAE中，∠BAE=68°，BE=162m． ∴AE=64.80，
在RT△DCE中，∠DCE=60°，DE=173．
∴CE= ≈100，
∴AC=CE﹣AE=35.2≈35（m），
答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为35cm．
20解：如图，过点P作PE⊥AM于E，PF⊥AB于F．
在Rt△PME中，∵∠PME=30°，PM=40，∴PE=20．∵四边形AEPF是矩形，∴FA=PE=20．
设BF=x米．∵∠FPB=45°，∴FP=BF=x．
∵∠FPC=60°，∴CF=PFtan60°= x．
∵CB=80，∴80+x= x．
解得：x=40（ +1），∴AB=40（ +1）+20=60+40 ≈129（米）．
答：山高AB约为129米．
21．解：如图，过点A作AM⊥CD，垂足为M.
∴AM＝BD＝6米，
MD＝AB＝1.5米．
在Rt△ACM中，tan 30°＝eq \f(CM,AM)，
∴CM＝AM·tan 30°＝6×eq \f(\r(3),3)＝2 eq \r(3)(米)．
∴CD＝CM＋MD＝(2 eq \r(3)＋1.5)米．
在Rt△CED中，sin 60°＝eq \f(CD,CE)，
即eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2 \r(3)＋1.5,CE)，
∴CE＝(4＋eq \r(3))米．
故拉线CE的长为(4＋eq \r(3))米．
22．解：(1)将点A，B的坐标分别代入y＝－x2＋ax＋b可得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－12＋a＋b，,0＝－32＋3a＋b，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－3，))
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3.
(2)∵点C在y轴上，
∴点C的横坐标为0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P的横坐标为xP＝eq \f(0＋3,2)＝eq \f(3,2)，
∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，
∴yP＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋4×eq \f(3,2)－3＝eq \f(3,4)，
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,4))).
(3)∵点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,4)))，且点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×eq \f(3,4)－0＝eq \f(3,2)，
∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
∴BC＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2)，
∴sin∠OCB＝eq \f(OB,BC)＝eq \f(3,\f(3\r(5),2))＝eq \f(2\r(5),5).
23．解：如图，作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
在Rt△ADB中，AD＝AB·cs∠BAD＝72×cs 66°≈72×0.4＝28.8(海里)，
BD＝AB·sin ∠BAD＝72×sin 66°≈72×0.9＝64.8(海里)．
在Rt△ADC中，AC＝eq \f(AD,cs ∠DAC)≈eq \f(28.8,cs 37°)≈eq \f(28.8,0.8)＝36(海里)．
CD＝AC·sin ∠CAD≈36×sin 37°≈36×0.6＝21.6(海里)，
∴BC＝BD－CD≈64.8－21.6＝43.2(海里)，
∴A岛上维修船赶到C处需要的时间
tA＝eq \f(AC,20)≈eq \f(36,20)＝1.8(时)，
B岛上维修船赶到C处需要的时间
tB＝eq \f(BC,28.8)≈eq \f(43.2,28.8)＝1.5(时)．
∵tA＞tB，
∴调度中心应派遣B岛上的维修船前去维修．
24．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cs2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，csA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cs2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，csA＝，
∴tanA＝＝，
＝．