中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义13 二次函数（学生版）学案

这是一份中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义13 二次函数（学生版）学案，共18页。学案主要包含了思维导图，知识要点，抛物线的性质，总结起来等内容，欢迎下载使用。
【思维导图】

【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数a≠0，而b ， c可以为零．
二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
1．（2017·甘肃中考模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1-2x2②y=1x2③y=x1-x④y=1-2x1+2x
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2013·湖南中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x+1 B．y=-2x+1 C．y=x2+2 D．y=12x-2
3．（2018·安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=x-1x+2B．
C．y=1-3x2D．
4．（2018·上海中考模拟）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣1
考查题型一 待定系数法求二次函数解析式
1．（2018·广东中考模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线x＝－52
2．（2018·上海中考模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
那么关于它的图象，下列判断正确的是( )
A．开口向上
B．与x轴的另一个交点是(3，0)
C．与y轴交于负半轴
D．在直线x＝1的左侧部分是下降的
考查题型二 根据二次函数的定义求参数值
1．（2012·山东中考真题）抛物线y=ax2+bx-3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（ ）
A．3 B．9 C．15 D．-15
2．（2018·安徽中考模拟）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
知识点2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2；④y=ax-h2+k；⑤y=ax2+bx+c.
第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）
1.（2019·辽宁中考模拟）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点(-1,-2)
B．它的图象的对称轴是直线x=2
C．当时，y随x的增大而减小
D．当x=0时，y有最大值为0
2．（2019·山东中考模拟）给出下列函数：①y＝2x﹣3；②y＝1x；③y＝2x2；④y＝﹣3x+1．上述函数中符合条件“当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小”的是（ ）
A．①③B．③④C．②④D．②③
第二种：二次函数y=ax2+c的性质
1．（2013·江苏中考模拟）关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法中正确的是 （ ）
A．它的开口方向是向下 B．当x＜－1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是（2，3） D．当x＝0时，y有最大值是3
2．（2017·黑龙江中考模拟）二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线x =1D．抛物线经过点（2,3）
3．（2019·山东中考真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个
D．2个
4．（2018·河北中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（ ）
A．n＞3或n＜﹣1B．n＞3C．n＜1D．n＞3或n＜1
第三种：二次函数y=ax-h2的性质
1（2019·四川中考模拟）对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是x=3C．最大值为0D．与y轴不相交
2（2019·湖北中考模拟）关于二次函数y＝12 (x+1)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是(﹣1，0)
3（2019·山东中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-h)2（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
第四种：二次函数y=ax-h2+k的性质
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：
y=ax-h2+k的形式，其中h=-b2a，k=4ac-b24a.
1.2019·广东中考模拟）关于抛物线y=2(x-1)2+1，下列说法错误的是（ ）．
A．开口向上B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x=1D．当x>1时，y随x的增大而增大
2.2019·广西中考模拟）将y=x2-6x+1化成y=（x-h）2+k的形式，则h+k的值是( )
A．-5B．-8C．-11D．5
3（2019·江苏中考模拟）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3
二次函数图象的平移
平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式y=ax-h2+k，确定其顶点坐标h ， k；
保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h ， k处，具体平移方法如下：
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
1．（2019·辽宁中考模拟）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．V=-12x+94B．P=Vx=-12x+94x=-12x2+94x
C．-12x-942+4418D．
2．（2017·邹平镇第三中学中考模拟）把抛物线y＝－12x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )
A．y＝－12 (x＋1)2＋1 B．y＝－12 (x＋1)2－1
C．y＝－12 (x－1)2＋1 D．y＝－12 (x－1)2－1
3．（2017·广东中考模拟）把抛物线y＝x2＋4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋1)2＋7B．y＝(x－1)2＋7C．y＝(x－1)2＋1D．y＝(x＋1)2＋1
4．（2018·山东中考模拟）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
5．（2019·浙江中考模拟）将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a，
∴顶点是（-b2a，4ac-b24a），对称轴是直线x=-b2a.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=ax-h2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系（灵活掌握）
二次项系数a
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．
（1） 当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
（2） 当a0的前提下，
当b>0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b0C．a(y1-y2)>0D．a(y1+y2)>0
3．（2019·河南中考模拟）点P1-1,y1，P23,y2，P35,y3均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．
考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法
1．（2019·浙江中考模拟）关于抛物线y=12(x+2)2+3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x=2，y有最小值是3B．对称轴是直线a=-1，y有最大值是3
C．对称轴是直线x=2，y有最大值是3D．对称轴是直线a=-1，y有最小值是3
2．（2016·浙江中考模拟）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，2）
C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点
3．（2019·江苏中考模拟）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2
4．（2019·山东中考模拟）抛物线y=mx2+2mx+1（m为非零实数）的顶点坐标为_____________.
考查题型五 抛物线对称性的应用
1．（2018·普定县白岩镇白岩中学中考模拟）将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2（2018·山东中考模拟）若二次函数α,β的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2
3．（2014·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法
1．（2019·陕西中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若n＜m，则（ ）
A．a＞0且4a+b=0B．a＜0且4a+b=0
C．a＞0且2a+b=0D．a＜0且2a+b=0
2．（2019·广东中考模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)为函数图象上的两点，则y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
4．（2013·广西中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
知识点三 抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔Δ1C．m≥1D．m≤1
2．（2017·江苏中考模拟）若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
3．（2019·四川中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M=4 a+2 b+c，则M的取值范围是___．
考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法
1．（2019·内蒙古中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2018·安徽中考模拟）二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
3.（2018·山东中考模拟）已知二次函数y＝(x+m)2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝mnx的图象可能是( )
A．B．
C．D．
4．（2019·安徽中考模拟）二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过( )
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）
三点式（带入）
1，已知抛物线y=ax = 2 \* Arabic 2+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
顶点式（顶点坐标（-b2a，4ac-b24a））
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
交点式（带入）
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=12a(x-2a)(x-b)的解析式。
定点式
在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y=-12x2+5-a2x+2a-2经过x 轴上一定点Q，直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。
2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
知识点五 通过二次函数解决实际问题
考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题
1．（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m)与小球运动时间t (单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s．其中正确的是( )
A．①④B．①②C．②③④D．②③
2．（2018·重庆中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣15x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题
1．（2017·甘肃中考模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2B．y=2x2
C．y=﹣0.5x2D．y=0.5x2
2．（2019·山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ）
A．42+4mB．42mC．42-4mD．4m
考查题型十二 利用二次函数求最大面积
1．（2017·江西南昌二中中考模拟）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.
考查题型十三 利用二次函数求最大利润
1．（2013·辽宁中考真题）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题
1．（2019·云南中考模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2019·河南中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2019·河南中考模拟）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止）。则四边形PABQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象为（ ）
A．B．
C．D． x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
0 ， 0
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而增大；x