湖北省鄂州市2020-2021学年高一下学期期末质量监测数学试题（含答案）

这是一份湖北省鄂州市2020-2021学年高一下学期期末质量监测数学试题（含答案），共10页。
高 一 数 学
★祝考试顺利★
注意事项：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
3．选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数（为虚数单位），则对应复平面内的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．数据的平均值为4，的平均值为5，则这八个数的平均值为
A．3 B．4 C． D．
3．已知为△ABC三个内角A,B,C的对边，,则
A． B． C． D．
4．已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．定义向量运算结果是一个向量，它的模是，其中表示向量的夹角.已知向量，，且，则
A．1 B．－1 C． D．
6．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为
A． B． C． D．
7．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则.
8．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔。现在在塔底共线三点A，B，C处分别测塔顶的仰角为，且米，则文星塔高为
A．20米 B．米
C．米 D．30米
二、多选题（部分选对得2分，选错或者不选得0分，全对得5分，共20分）
9．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“恰有一次中靶”互斥的是
A．至多一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没有中靶
10．过正方体棱上三点D，E，F（均为棱中点）确定的截面过点P(点P为BB1中点)有

A．B．C．D．
11．下列说法正确的是
A．标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据离散程度越大；标准差越小，数据离散程度越小；
B．若数据的平均数为，数据的平均数为，如果满足
y1＝3x1＋1，y2＝3x2＋1，…，yn＝3xn＋1，则；
C．如果一组数据中的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的；
D．若数据的方差，则都相等.
12．设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，计作.已知在斜坐标系中，向量、，则下列结论正确的是
A．
B．若，则
C．
D．若，则=.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．写出一个复数满足实部和虚部互为相反数，且，=_________．
14．鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多8人，则该校高一年级男生有_________人．
15．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有阳马侧棱长为4，且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
16．已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则=________，若上述条件成立时，则的最大值为_________．(答对一空得3分，全对得5分)
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（本题10分）已知复数z＝(m2－2m－3)＋(m2－3m)i（为虚数单位）.
⑴若为纯虚数，求实数的值；
⑵当时，复数是关于的方程的一个根，求实数 的值．
18．（本题12分）某校对2021年春高一期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50)，[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
⑴估计该校高一期中数学考试成绩的均值；
⑵估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数．
19．（本题12分）从，，
(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：已知为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若，__________，点是的中点，点是的中点，将△沿折起，使平面平面，如图，求异面直线与所成的角的余弦值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.）
20．（本题12分）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、组合题，每题均可获得30分，答对几何题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求：
⑴已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；
⑵已知，求总分不低于50分的概率．
21．（本题12分）已知三棱柱棱长均为2，且点在底面△ABC的投影为△ABC的中心O，点为棱的中点．
⑴证明：直线平面；
⑵求二面角的余弦值．
22．（本题12分）已知为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H.
⑴求△ABC中高AD的长度；
⑵欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是，则三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值．
高一数学参考答案
一、选择题（本题总分40分）
二、多选题（本题总分20分，全对5分，不全得2分）
三、填空题（本题总分20分）
13．答案不唯一，确保实部虚部互为相反数且平方和在均可得分，如.
14．500人
15．
16． 5 （答对一空得3分，全对得5分）
四、解答题（本题总分70分）
17．（本题总分10分）
解：⑴若为纯虚数，则
解得. 分
⑵当时，复数，则， 分
是方程的一个根，
，
整理得.
根据复数相等，有
解得 分
18．（本题总分12分）
解：⑴
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率， 分
样本均值为：
，
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分. 分
⑵由⑴知
样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为
在130分以下所占比例为
因此，80%分位数一定位于内，由
，
可以估计样本数据的第80百分位数约为115分， 分
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分 分
19．（本题总分12分）
选择①
即
,故△ABC为等腰三角形. 分
选择②
,故△ABC为等腰三角形. 分
选择③
展开得：
△ABC为锐角三角形
,故△ABC为等腰三角形. 分
，故△ABC为等边三角形.
取EF中点G连接A’G、GB、GC、A’B、A’C ， 分
平面平面，
又，
平面，
又E、F为中点，所以.
故异面直线与所成的角即为与BC所成的角， 分
取△ABC边长为2，计算可得：，,
在△A’BC中,, 分
异面直线与所成的角的余弦值为. 分
20．（本题总分12分）
解：⑴小明三道题都答对概率为，故，
恰能解决三道题中的一道题的概率： 分
⑴若三道题均答对，则,
若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，
则，
若代数几何均答对，但组合未答对，则,
. 分
21．（本题总分12分）
解：
⑴连接AB1交A1B于E点，连DE，
均为中点，

又平面，面,
直线平面. 分
⑵如图，过点O作OG,,过点B作,
连接, 分
为中心，,
根据勾股定理可得：,
平面ABC
，同理，,
又,
可得△△，故. 分
又,
△△,
为求二面角的平面角， 分
三棱柱棱长均为2，容易求出：
,,,
,同理，,
在△BMC中，,
二面角的余弦值为. 分
（此题方法较多，根据解答酌情给分）
附：方法2
过点B作,连接MC
连接,,
容易证明,
可知△△,, 分
又,
△△,
为求二面角的平面角， 分
三棱柱棱长均为2，
,同理，,
在△BMC中，,
二面角的余弦值为. 分
22．（本题总分12分）
解：⑴
分
根据面积相等有，
解得： 分
⑵连接延长交于点，根据角平分线定理可知：,
则 分
又在△中，平分，
根据角平分线定理可知：
, 分
根据欧拉线定理有
分
, 分
分1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
A
B
A
D
A
B
9
10
11
12
BD
AD
ABD
AD