四川省眉山市丹棱县2021-2022学年九年级上学期期末教学质量监测数学试题（word版 含答案）

这是一份四川省眉山市丹棱县2021-2022学年九年级上学期期末教学质量监测数学试题（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，最小的数是（ ）
A．−2B．0C．1D．38
2．（4分）2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是（ ）
A．0.192B．1.92C．19.2D．192
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3+3=3B．45−5=4C．3×2=6D．32÷8=4
4．（4分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤14且a≠﹣2B．a≤14C．a＜14且a≠﹣2D．a＜14
5．（4分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或372D．6或372
6．（4分）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ）
A．10%B．29%C．81%D．14.5%
7．（4分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DFB．ABDE=OAOD=12
C．BC是△OEF的中位线D．S△ABC：S△DEF＝1：2
8．（4分）将一个篮球和一个足球随机放入三个篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ）
A．23B．12C．13D．16
9．（4分）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．（4分）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB=13B．sinC=255
C．tanB=12D．sin2B+sin2C＝1
11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G，下列结论，①sin∠HBE＝cs∠HEB；②CG•BF＝BC•CF；③BH＝FG；④BC2CF2=BGGF其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．（4分）函数y=1−xx中，自变量x的取值范围是 ．
14．（4分）在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是 ．
15．（4分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ．
16．（4分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE=43，则△ABC的面积为 ．
17．（4分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 ．
18．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．（8分）计算：(4−3)0−3tan60°+(12)−1+12．
20．（8分）先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=2+1．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x2都为整数，求k所有可能的值．
22．（10分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
23．（10分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有 名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
24．（10分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
25．（10分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1．（4分）下列实数中，最小的数是（ ）
A．−2B．0C．1D．38
【分析】将各项数字按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．
【解答】解：根据题意得：−2＜0＜1＜38，
则最小的数是−2．
故选：A．
2．（4分）2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是（ ）
A．0.192B．1.92C．19.2D．192
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：192000000＝1.92×108，
故a＝1.92，
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3+3=3B．45−5=4C．3×2=6D．32÷8=4
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝23，所以A选项的计算错误；
B、原式＝35，所以B选项的计算错误；
C、原式=3×2=6，所以C选项的计算正确；
D、原式=32÷8=4=2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
4．（4分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤14且a≠﹣2B．a≤14C．a＜14且a≠﹣2D．a＜14
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤14且a≠﹣2，
故选：A．
5．（4分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或372D．6或372
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是12×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是42−32=7，该直角三角形的面积是12×3×7=372．
故选：D．
6．（4分）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ）
A．10%B．29%C．81%D．14.5%
【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据该口罩厂六月份及八月份的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，
依题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：A．
7．（4分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DFB．ABDE=OAOD=12
C．BC是△OEF的中位线D．S△ABC：S△DEF＝1：2
【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可．
【解答】解：A、∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥DF，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OAOD=12，本选项说法正确，不符合题意；
C、同B选项可知，OBOE=OCOF=12，
∴BC是△OEF的中位线，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴S△ABC：S△DEF＝1：4，本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
8．（4分）将一个篮球和一个足球随机放入三个篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ）
A．23B．12C．13D．16
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为69=23．
故选：A．
9．（4分）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据平移的性质得出AD＝BE，进而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面积之比解答即可．
【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△CEG，
∵BC：EC＝3：1，
∴BE：EC＝2：1，
∴AD：EC＝2：1，
∴S△ADG：S△ECG=(ADEC)2=4，
∵S△ADG＝16，
∴S△CEG＝4，
故选：B．
10．（4分）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB=13B．sinC=255
C．tanB=12D．sin2B+sin2C＝1
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB=22+22=22，AC=12+12=2，BC=12+32=10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sinB=ACBC=210=55，sinC=ABBC=2210=255，tanB=ACAB=222=12，sin2B+sin2C=(55)2+(255)2=1，
故选：A．
11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（−b2a，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线不经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线不经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线不经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G，下列结论，①sin∠HBE＝cs∠HEB；②CG•BF＝BC•CF；③BH＝FG；④BC2CF2=BGGF其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】①根据正方形的性质求证△BHE是直角三角形即可得到结果；
②由①求证△CGF∽△BCF，利用其对应边成比例即可得到结论；
③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论；
④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，CD＝BC＝AB，
∵E、F分别是边BC，CD的中点，
∴BE=12BC，CF=12CD，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BEA＝∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB＝∠ABE，
∴∠CFG＝∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF＝90°，即△CGF为直角三角形，
∵CG∥AE，
∴△BHE也是直角三角形，
∴sin∠HBE＝cs∠HEB．
故①正确；
由①得，∠CGF＝90°，
∴∠CGF＝∠BCF＝90°，
∵∠CFG＝∠BFC，
∴△CGF∽△BCF，
∴CGBC=CFBF，
∴CG•BF＝BC•CF，
故②正确；
由①得，∠BHE＝∠CGF＝90°，
由②得，△CGF∽△BCF，
∴∠HBE＝∠GCF，
∵BE＝CF，
∴△BHE≌△CGF（AAS），
∴BH＝CG，而不是BH＝FG，
故③错误；
∵△BCG∽△BFC，
∴BCBF=BGBC，
即BC2＝BG•BF，
同理可得：△BCF∽△CGF，
∴CF：GF＝BF：CF，
∴CF2＝BF•GF，
∴BF2CF2=BGGF，
∴④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．（4分）函数y=1−xx中，自变量x的取值范围是 x≤1且x≠0 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1且x≠0．
故答案为：x≤1且x≠0．
14．（4分）在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是 16 ．
【分析】用球的总个数乘以摸出红球频率的稳定值即可．
【解答】解：袋子中红球的个数约为40×0.4＝16（个），
故答案为：16．
15．（4分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ﹣3 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m﹣1＝0，则m2+2m＝1，根据根与系数的关系得出m+n＝﹣2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（4分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE=43，则△ABC的面积为 93 ．
【分析】首先由△ABC是等边三角形，可得∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，又由三角形外角的性质，求得∠ADB＝∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD＝4，CE=43，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，则可求得△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝BC，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABDC=BDCE，
∵BD＝4，CE=43，
设AB＝x，则DC＝x﹣4，
∴xx−4=443，
∴x＝6，
∴AB＝6，
过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABF中，AF＝AB•sin60°＝6×32=33，
∴S△ABC=12BC•AF=12×6×33=93．
故答案为：93．
17．（4分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒 ．
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
18．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有 ②③ （填序号）．
【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x=−3+12=−1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，a+ℎ=39a+ℎ=0，
解得a=−38ℎ=278，
∴二次函数的解析式为：y=−38（x+1）2+278，
∵y=−38x2−34x+3，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac=916+4×38×3＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为−38x2−34x+3＝0，
即为x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c＝7×（−38）+3=38＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故答案为②③．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．（8分）计算：(4−3)0−3tan60°+(12)−1+12．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：(4−3)0−3tan60°+(12)−1+12
＝1﹣3×3+2+23
＝1﹣33+2+23
＝3−3．
20．（8分）先化简，再求值（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6，其中x=2+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1−4x+3）÷x2−2x+12x+6
=x+3−4x+3⋅2(x+3)(x−1)2
=x−11⋅2(x−1)2
=2x−1，
当x=2+1时，原式=22+1−1=2．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x2都为整数，求k所有可能的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为k，k+1，得出x1x2=1+1k或x1x2=1−1k+1，然后利用有理数的整除性确定k的整数值；
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k，k+1，
∴x1x2=k+1k=1+1k或x1x2=kk+1=1−1k+1，
如果1+1k为整数，则k为1的约数，
∴k＝±1，
如果1−1k+1为整数，则k+1为1的约数，
∴k+1＝±1，
则k为0或﹣2．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣2．
22．（10分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，用a表示出AG、DG，根据tan∠ADG=AGDG列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，
由题意知CD＝210米，
∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，
∴DHCH=13，
设DH＝x米，CH＝3x米，
∵DH2+CH2＝DC2，
∴x2+(3x)2=(210)2，
∴x＝2，
∴DH＝2（米），CH＝6（米），
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DHBG为矩形，
∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝a（米），
∴AG＝（a﹣2）米，
∵∠ADG＝30°，
∴AGDG=tan30°=33，
∴a−2a+6=33，
∴a＝6+43，
∴AB＝（6+43）（米）．
答：大树AB的高度是（6+43）米．
23．（10分）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有 50 名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 108° ；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，即可解决问题；
（3）由360°乘以D所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：
（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×1550=108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同主题的概率为416=14．
24．（10分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x＝2代入函数关系式即可求解；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
25．（10分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．
【分析】（1）先根据题意得出AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；
（2）先证明△EAD∽△CFE，得ADEF=DECE=AECF，根据四边形ADCF是平行四边形，得AD＝CF，AF＝CD，进而可得CF4=5CE=9CF，求得CF＝6，CE=103，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，先证明△ABE∽△DCE，得出ABDC=AEDE=BECE，设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
AB=AE∠BAF=∠AEDAF=DE，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴ADEF=DECE=AECF，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴CF4=5CE=9CF，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE=103，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴BEAB=ECDC，即BE9=1035，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴BEEF=AEBE，即BE4=9BE，
∴BE＝6；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABDC=AEDE=BECE，
设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中点M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴ABEG=AFEF，即axa(x+1)=aa(x−1)，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+2或x＝1−2（舍去），
∴BEEC=x＝1+2．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A、B关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，进而求解；
（3）①当点Q在点P的左侧时，证明△QME∽△ENP，则PNME=ENQM=PEQE=tan∠EPQ＝tan∠OCA=OAOC=24=12，进而求解；②当点Q在点P的右侧时，同理可解．
【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：4a−2b+c=016a+4b+c=0c=4，解得a=−12b=1c=4，
故抛物线的表达式为y=−12x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：0=4m+nn=4，解得m=−1n=4，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
理由：由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC=2BO＝42，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为42；
（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，−12m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），
①当点Q在点P的左侧时，
如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，
由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴PNME=ENQM=PEQE=tan∠EPQ＝tan∠OCA=OAOC=24=12，
则PN=−12m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，
∴−12m2+m+41−t=m−1−t+4=12，
解得m＝±13（舍去负值），
当m=13时，−12m2+m+4=213−52，
故点P的坐标为（13，213−52）．
②当点Q在点P的右侧时，
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，
则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE=−12m2+m+4、PN＝m﹣1，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴MQEN=MEPN=EQPE=2，
t−1−12m2+m+4=t−4m−1=2，
解得m=±7（舍去负值），
故m=7，
故点P的坐标为（7，27+12），
故点P的坐标为（7，27+12）或（13，213−52）．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…