高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试课堂检测

这是一份高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试课堂检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
则函数y＝f(x)存在零点的区间有( C )
A．区间(1,2)和(2,3)B．区间(2,3)和(3,4)
C．区间(2,3)和(3,4)和(4,5)D．区间(3,4)和(4,5)和(5,6)
[解析] 由图表可知，f(2)·f(3)<0，
f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
故选C．
2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( C )
A．10天 B．15天
C．19天D．2天
[解析] 荷叶覆盖水面面积y与生长时间x天的函数关系式为y＝2x，当x＝20时，长满池塘水面，∴生长19天时，布满水面面积的一半，故选C．
3．(2019·山东济宁高一期末测试)函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点，所在的大致区间是( C )
A．(e,3)B．(2，e)
C．(1,2)D．(0,1)
[解析] f(1)＝ln2－2<0，
f(2)＝ln3－1>0，
∴f(1)·f(2)<0，故选C．
4．某人2016年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2019年7月1日可取款( D )
A．a(1＋x)2元B．a(1＋x)4元
C．a＋(1＋x)3元D．a(1＋x)3元
[解析] 由题意知，2017年7月1日可取款a(1＋x)元，
2018年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，
2019年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．
5．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻t与水面高度y的函数关系如图所示，图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是选项中的( B )
[解析] 由图知，y随时间t的变化，先慢后快，再匀速变化．故选B．
6．若函数y＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个大于2的零点，则m的取值范围是( A )
A．(－5，－4)B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2)D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－22－45－m>0,－\f(m－2,2)>2,f2＝4＋2m－2＋5－m>0))，
解得－57．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 008个，则f(x)的零点的个数为( D )
A．1 008B．1 009
C．2 016D．2 017
[解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1 008个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1 008个，又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.即0也是它的零点，故f(x)的零点共有2 017个．
8．(2019·山东莒县一中高一期末测试)设函数y＝2x3与y＝(eq \f(1,2))x－1＋2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( C )
A．(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
[解析] 令f(x)＝2x3－(eq \f(1,2))x－1－2，
函数y＝2x3与y＝(eq \f(1,2))x－1＋2的图象的交点为(x0，y0)，即函数f(x)的零点为x0，
又f(1)＝2－(eq \f(1,2))0－2＝－1<0，
f(2)＝2×8－(eq \f(1,2))1－2＝16－eq \f(1,2)－2
＝eq \f(27,2)>0，
∴f(1)·f(2)<0，故选C．
9．某种电热水器的水箱盛满水是200 L，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65 L，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( B )
A．3人B．4人
C．5人D．6人
[解析] 设电热水器内水量为y L，由题意得，y＝2t2－34t＋200＝2(t－eq \f(17,2))2＋eq \f(111,2)，
∴当t＝8.5时，电热水器内水量y达到最小值，最小值为eq \f(111,2)，此时放水停止．
本次总共实际放水量为8.5×34＝289(L)，
又eq \f(289,65)＝4eq \f(29,65)，
∴一次最多可供4人洗浴，故选B．
10．若方程lnx＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为( B )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 设f(x)＝lnx＋x－4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0，
∴根在区间(2,3)内，∴a＝2.故选B．
11．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )
A．eq \f(p＋q,2)B．eq \f(1＋p1＋q－1,2)
C．eq \r(pq)D．eq \r(1＋p1＋q)－1
[解析] 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.
12．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝lg2x＋x的零点依次为a，b，c，则( B )
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．b＜a＜cD．c＜a＜b
[解析] 因为f(－1)＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，
所以f(x)的零点a∈(－1,0)；
因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2；
因为h(eq \f(1,2))＝－1＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，
所以h(x)的零点c∈(eq \f(1,2)，1)．因此a＜c＜b.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为__eq \a\vs4\al(y＝fx＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x0≤x≤30,230[解析] 当0≤x≤30时，设f(x)＝kx，将点(30,2)代入得k＝eq \f(1,15)，∴f(x)＝eq \f(1,15)x.
当30当40≤x≤60时，设f(x)＝mx＋b，将点(40,2)和点(60,4)代入可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40m＋b＝2,60m＋b＝4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,10),b＝－2，))即f(x)＝eq \f(1,10)x－2.
综上可知y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x0≤x≤30,23014．若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是__m<－eq \f(1,8)__.
[解析] 当m＝0时，函数有零点，所以应有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠0,Δ＝1＋8m<0))，
解得m<－eq \f(1,8).
15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.
[解析] 由eq \f(0.4,2n)<0.01，得2n>eq \f(0.4,0.01)＝40，故n的最小值为6.
16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是__①⑤__.
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
[解析] f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，eq \f(1,2))和(eq \f(1,2)，1)内，故只有①⑤正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2x≥1,x2－2xx<1))，求函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)的零点．
[解析] 求函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)的零点，即求方程f(x)－eq \f(1,4)＝0的根．
当x≥1时，由2x－2－eq \f(1,4)＝0得x＝eq \f(9,8)；
当x<1时，由x2－2x－eq \f(1,4)＝0得x＝eq \f(2＋\r(5),2)或x＝eq \f(2－\r(5),2)，
∵x<1，∴x＝eq \f(2－\r(5),2).
∴函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)的零点是eq \f(9,8)或eq \f(2－\r(5),2).
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
[解析] (1)因为f(x)的两个零点分别是－3,2，所以－3与2是一元二次方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8－b,a)＝－1,\f(－a－ab,a)＝－6))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3,b＝5)).
故f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18，其图象的对称轴为x＝－eq \f(1,2)，开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，则f(x)的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12.
所以函数f(x)的值域为[12,18]．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－xx≤1,1－lg2xx>1)).
(1)求函数f(x)的零点；
(2)求满足f(x)≤2的x的取值范围．
[解析] (1)当x≤1时，函数无零点．
当x>1时，令f(x)＝0，∴1－lg2x＝0，x＝2，
∴函数的零点为x＝2.
(2)当x≤1时，21－x≤2，即x≥0，∴0≤x≤1.
当x>1时，f(x)＝1－lg2x≤2，解得x≥eq \f(1,2).
又∵x>1，∴x>1.
综上可知，x≥0.
20．(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h内供水总量为120eq \r(6t)吨，(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24 h内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析] (1)设t h后蓄水池中的水量为y吨，
则y＝400＋60t－120eq \r(6t)(0≤t≤24)
令eq \r(6t)＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)；
∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6 h时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，
解得4∵eq \f(32,3)－eq \f(8,3)＝8，∴每天约有8 h供水紧张．
21．(本小题满分12分)关于x的方程x2－2x＋a＝0，求a为何值时：
(1)方程一根大于1，一根小于1；
(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；
(3)方程的两个根都大于零？
[解析] 设f(x)＝x2－2x＋a，
(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f(1)＜0，得1－2＋a＜0，所以a＜1.
(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＞0,f1＜0,f2＜0,f3＞0))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋a＞0,1－2＋a＜0,4－4＋a＜0,9－6＋a＞0))，
解得－3＜a＜0.
(3)由方程的两个根都大于零，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4a≥0,－\f(－2,2)＞0,f0＞0))，
解得0＜a≤1.
22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0解得x＝1－(eq \f(1,2))eq \f(1,10).
(2)设经过m年剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，则
a(1－x)m＝eq \f(\r(2),2)a，即(eq \f(1,2))eq \f(m,10)＝(eq \f(1,2))eq \f(1,2)，
eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，
则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1－x)n.
令eq \f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq \f(1,4)a，即(1－x)n≥eq \f(\r(2),4)，
(eq \f(1,2))eq \f(n,10)≥(eq \f(1,2))eq \f(3,2)，eq \f(n,10)≤eq \f(3,2)，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
－7.67
10.89
－34.76
－44.67