寒假作业8 第四章指数函数与对数函数 综合提升卷-2021-2022学年高一人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业8 第四章指数函数与对数函数 综合提升卷-2021-2022学年高一人教A版（2019）数学（新高考），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．化简的结果是（ ）
A．1－2xB．0
C．2x－1D．(1－2x)2
2．函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标（ ）
A．B．C．D．
3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只）近似满足，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭（ ）
A．1530只B．1630只C．1830只D．1930只
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A．B．C．D．
5．已知f(ex)＝x，则f(3)＝（ ）
A．lg3 eB．ln 3
C．e3D．3e
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则关于x的函数的零点的个数为（ ）
A．8B．7C．5D．2
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．设函数，对于任意的，，下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．为减函数
D．为奇函数
12．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示，那么对于图中给定的和，下列判断中不一定正确的是（ ）
A．在时刻，甲车在乙车前面
B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同
D．时刻后，乙车在甲车前面
三、填空题
13．函数是指数函数，则的值为________．
14．已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是___________.
15．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为______________.
16．已知函数，，若，，使得，则______．
四、解答题
17．已知函数．
（1）求此函数的定义域；
（2）若函数值都大于等于－1，求实数x的取值范围．
18．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
（1）试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
（2）确定函数的定义域和值域．
19．已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）求该函数的值域；
（3）判断在上的单调性，并证明.
20．已知函数，且．
（1）求函数的定义域；
（2）求满足不等式的x的解集．
21．已知函数且．
（1）若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，其中为常数.
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）若，存在使得方程有解，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
根据已知条件，利用根式的性质化简代数式即可.
【详解】
∵，则，
∴.
故选：C.
2．B
【分析】
令真数为1即可求出.
【详解】
令，即时，，
所以定点的坐标为.
故选：B.
3．B
【分析】
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
【详解】
解：∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只）近似满足，
又∵x=2，y=1000，
∴，解得，
∴当时，．
故选：B．
4．B
【分析】
由，，可得解.
【详解】
由，且，所以，即.
又，即.
综上：.
故选:B.
5．B
【分析】
由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，从而得到结果.
【详解】
∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，
故选：B.
6．C
【分析】
先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可.
【详解】
解：函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，
因为当时，，
所以当时，，时，，故排除D，
当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，
故选：C
7．D
【分析】
构造，并根据解析式直接判断奇偶性、单调性，进而利用其单调性及奇偶性求解不等式.
【详解】
令，
∴，即为奇函数，
又在R上均为减函数，
∴为减函数，
由得：，
∴，即，解得.
故选：D.
8．B
【分析】
问题转化为要求方程的解的个数，对应于函数或的解的个数．故先根据题意作出的简图，由图可知，函数或的解的个数，可以得出答案．
【详解】
根据题意，令，
得或．
作出的简图：
由图象可得当或时，分别有4个和3个交点，
故关于x的函数的零点的个数为7．
故选：B．
9．BC
【分析】
结合函数的单调性、特殊值确定正确选项.
【详解】
若，但，A错误.
若，但，D错误.
由于和在上递增，所以，
所以BC选项正确.
故选：BC
10．AD
【分析】
根据指数运算判断AB选项的正确性，根据的单调性判断C选项的正确性，根据的图象判断D选项的正确性.
【详解】
，所以A项成立；
，所以B项不成立；
函数在上是单调递增函数，若，则，则，若，则，则，故C项不正确；
函数任意两点之间的连线在其图象的上方，所以的图象满足，故D项正确.
故选：AD
11．ABC
【分析】
利用对数型复合函数的定义域，列不等式组可判断A；由对数型复合函数的值域可判断B；根据复合函数的单调性可判断C；根据奇偶性定义可判断D.
【详解】
由解得，A正确．
，因为，所以，B正确．
因为函数在上单调递减，
函数在上单调递增，所以在定义域内单调递减，C正确．
的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，D错误．
故选：ABC
12．BCD
【分析】
由速度曲线与轴所成面积为甲乙所走的路程，讨论、时刻的面积即可判断各选项的正误.
【详解】
速度曲线与横轴所成面积为甲乙所走的路程，在时刻，由图知：甲的速度曲线与轴所成面积比乙大，即在0～上甲在乙前面，故C错误；
在时刻，由图知：甲的速度曲线与轴所成面积比乙大，即在～上甲在乙前面，故A正确；
而在时刻后，甲、乙的速度曲线与轴所成面积大小不确定，故B、D不一定正确.
故选：BCD.
13．
【分析】
利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】
因为函数为指数函数，则，解得.
故答案为：.
14．
【分析】
由题意知，一元二次方程有两个正实根，须同时满足四个条件，，，两根之积和两根之和都大于零，即可得到答案.
【详解】
设两个正实数根分别为，.
故答案为：.
15．
【分析】
结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可．
【详解】
是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，则不等式等价为不等式，
∴，即，可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
16．78
【分析】
根据题意可知，y＝f(x)的值域应该是y＝值域的子集，据此即可求解m﹒
【详解】
时，，
时，，
∵，，
由题意可知，，
∴，，∴，∴﹒
故答案为：78．
17．
（1）定义域
（2）
【分析】
（1）由已知列出，解不等式即可得出结果.
（2）由（1）可知只需满足,解不等式即可得出结果.
（1）
函数，定义域需满足,即，解得：.
所以函数的定义域为.
（2）
由函数值都大于等于－1，则，即.
结合（1）可得：，即，解得：,
所以实数x的取值范围为.
18．
（1）
（2）定义域为，值域为
【分析】
（1）利用梯形面积公式求得.
（2）结合渠深以及二次函数的性质求得定义域与值域.
（1）
由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积；
（2）
依题意可知，函数的定义域为．
根据二次函数的性质可知，在上递增，
,所以值域为.
19．
（1）奇函数，证明见解析
（2）
（3）答案见解析
【分析】
（1）函数的定义域为，计算与的关系，即可判断出奇偶性；
（2）由，设，则，，利用函数的单调性即可得出值域．
（3）设，，通过作差、分类讨论即可得出．
（1）
解：为奇函数，证明：因为函数的定义域为，且，
为奇函数．
（2）
解：，
设，则，，所以，，所以，所以
该函数的值域为，
（3）
解：若，在上是增函数，若，在上是减函数
证明：设，，
则，
若，则，，，．
，即，
在上是增函数．
若，则，，，．
，即，
在上是减函数．
20．
（1）
（2）当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．
【分析】
（1）对数函数定义域求解，要满足真数大于0；（2）结合第一问求出的定义域，对和讨论，利用函数的单调性求解不等式，求出解集.
（1）
由题意，函数，
根据对数函数的性质，可得函数满足
解得:，
所以函数的定义域为．
（2）
由，即，
当时，函数在定义域是严格增函数，所以解得：；
当时，函数在定义域内是严格减函数，所以解得：，
综上可得：当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．
21．
（1）
（2）存在；（或）
【分析】
（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.
（1）
由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故
则，即的取值范围为.
（2）
要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为增函数，
故且，即，此时的最大值为即，满足题意．
②当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为减函数，
故且，即，
此时的最大值为即，满足题意．
综上，存在（或）
【点睛】
一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立.
22．
（1）增函数，证明见解析；
（2）或.
【分析】
（1）直接利用函数单调性的定义证明即可；
（2）首先判断函数的奇偶性，然后根据函数的奇偶性和单调性把问题转化为方程在区间内有解的问题.
（1）
因为，
设为上的任意两个实数，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）
当时，，由（1）知函数在上单调递增，
又因为，所以为奇函数.
由，得，
因为为奇函数，所以，
又因为函数单调递增，所以，即，
所以方程在区间内有解，令，，
所以或或，
即或或无解，
解得或