安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案与解析）

这是一份安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案与解析），共14页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知复数，则z的虚部是
A. B. C. D.
2.已知等于
A. 1B. C. 3D.
3.用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是
A. B.
C. D.
4.已知函数的导函数为，且满足，则
A. B. C. 1D. e
5．＝（ ）
A． B． C． D．
6. 已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的
A. 第29项B. 第30项C. 第36项D. 第37项
7.已知，且，则的值一定
A. 大于零B. 等于零C. 小于零D. 正负都有可能
8.函数的大致图象是
A. B.
C. D.
9.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是
A. 1B. C. 2D.
10．已知，且，则（为虚数单位）的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11.在等比数列中，，函数，若的导函数为，则
A. 1B. C. D.
12.设函数，若存在区间，使在上的值域是，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
二：填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线在点处的切线方程为______.
14已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，，，，则内切球的半径______.
15.如图，一圆锥内接于半径为R的球O，当圆锥的体积最大时，圆锥的高等于______ .
16设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）已知z是复数，均为实数为虚数单位
求z；
如果复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18. （本小题满分12分） 设，，且 证明
；
与不可能同时成立．
19． (本小题满分12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=−4x+1，y=f(x)在x=3处有极值．
(1)求f(x)的解析式．
(2)求y=f(x)在[0,4]上的最小值．
20．（本小题满分12分）设数列满足，，当.
（1）计算，，猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
（2）求证：.
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)锛?/m:t>，a鈭圧．
（1）若是的极值点， 求函数的单调性；
（2）若时，，求的取值范围．
22. （本小题满分12分）设函数
试讨论函数的单调性；
如果且关于x的方程有两解，，证明
高二理科期中考试试卷2021.4
已知复数，则z的虚部是
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题得，虚部为，
故选
2.已知等于
A. 1B. C. 3D.
【答案】C【解析】解：故选
3.用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】解：当时，左边的代数式为：，
当时，左边的代数式为：明时，
故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：故选
4.已知函数的导函数为，且满足，则
A. B. C. 1D. e
【答案】B【解析】解：函数的导函数为，且满足，
，把代入可得，解得，故选：
5．＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
.6已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的
A. 第29项B. 第30项C. 第36项D. 第37项
【答案】A解：由题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的两个，为4的有三个，按此规律，知出现在和为9那一组中，
又每一组的数都是以分子为1开始，故是分子分母和为9的那一组的第一个数，
由于和为9的那一组是第八组，前七组共有个数，故是第29个数，即第29项.
故选
7.已知，且，则的值一定
A. 大于零B. 等于零C. 小于零D. 正负都有可能
【解答】
解：， ，，，
， 又，
， a，b不同时为0，，故， 同理可证得，， 故， 所以， 故选
8.函数的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A【解答】解：函数的定义域为，
当时，，，当时，，故选：
9.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是
A. 1B. C. 2D.
【答案】B解：由题意作图如下，
当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，最近；
故令解得，；故点P的坐标为；故点P到直线的最小值为 .故选
10．已知，且，则（为虚数单位）的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
11.在等比数列中，，函数，若的导函数为，则
A. 1B. C. D.
【答案】B
解：设…，，，
…，故选
12.设函数，若存在区间，使在上的值域是，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B【解答】
解：，设，则，
当时，，递增，当时，，递减，
故，故在区间上递增，
又故在上单调递增.
在上的值域为
又上的值域是，故，
存在区间满足题意，等价于方程在上至少有两个不等正根，
分离参数得，令
则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点.
，得，
由得，当得，得在递减，在递增，
又当时，，趋近于时，趋近于
题意等价于，
，故选
填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
14已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，，，，则内切球的半径______.
【答案】【解答】解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．
根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，根据体积相等可得，
即内切球的半径，故答案为
15.如图，一圆锥内接于半径为R的球O，当圆锥的体积最大时，圆锥的高等于______ .
【答案】【解析】
解：设圆锥的高是h，过球心的一个轴截面如图：
则圆锥的底面半径，
圆锥的体积，，由解得，，
由导数的性质知，当时，圆锥的体积最大．故答案为：
16设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是
【详解】由题意易知为定值，不妨设，则，
又，故，解得：，
即函数的解析式为，，
由题意可知：对恒成立，即对恒成立，令，则，
据此可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，结合恒成立的结论可知：的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、已知z是复数，均为实数为虚数单位
求z；
如果复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】解：设、，，由题意得
为实数，可得，
，对应点在第一象限，
可知，即，
解得，
，
即实数a的取值范围是
18. 设，，且证明：
；
与不可能同时成立．
【答案】证明：由，，则，
由于，则，即有，当且仅当取得等号．则；
假设与可能同时成立．
由及，可得，由及，可得，
这与矛盾．与不可能同时成立．
19.已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．
求的解析式．
求在上的最小值．
解：，．
，
曲线在点P处的切线方程为，
即
，
在处有极值，所以，
，
由得，，，所以，
由知．
令，得，，当时，；
当时，；
当时，，，．
又因，所以在区间上的最小值为．
20．设数列满足，，当.
（1）计算，，猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
（2）求证：.
【答案】（1），，，证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）解：由，，
所以，.
猜想：，
证明：当时，由，，故成立；假设（）时成立，即，
所以，即当时成立，综上所述，.
（2）证明：由（1）知，，所以

，证毕.
21. (本小题满分12分)
已知函数，．
（1）若是的极值点， 求函数的单调性；
（2）若时，，求的取值范围．
【解析】（1），.因为是的极值点，
所以，可得．……………………1分
所以，. ……………………2分
因为在上单调递增，且时，，……………………4分
所以时，，，单调递减；
时， ，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）由得，因为，所以.设，则. 令，则，
显然在内单调递减，且，
所以时，，单调递减， 则，即，
所以在内单减，从而.所以.
22.设函数
试讨论函数的单调性；
如果且关于x的方程有两解，，证明
【答案】解：由，
可知，
因为函数的定义域为，所以：
①若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增；
②若，则当在内恒成立，函数单调递增；
③若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
要证，只需证设，
因为，所以为单调递增函数．
所以只需证，即证，只需证
又①，②，
所以①②两式相减，并整理，得
把代入式，
得：只需证，可化为
令，得：只需证
令，则，
所以在其定义域上为增函数，所以综上得：原不等式成立．