山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案）

这是一份山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案），共8页。
命题人： 审题人
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．
A．B． C． D．
2．用数字1，2，3，4，5这5个数字，可以组成无重复数字的四位偶数的个数为
A．8 B．24 C．48 D．120
3．从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人，则不同的选法共有
A．6种B．12种 C．24种D．18种
4．已知，，则
A．6 B．2 C．4 D．3
5．的展开式中各二项式系数的和是
A． B． C． D．
6．5名同学站成一排，若同学A与同学B相邻，且同学A与同学C不相邻，则不同的排法种数为
A．36B．25C．16D．48
7．若随机变量的分布列如下表所示，则
A． B． C． D．
8．已知，若，则
A． B． C． D．
9．在由直线和轴围成的三角形内任取一点，记事件A为，B为，则
A． B． C． D．
10．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
11．2021年湖北省新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，现有甲、乙、丙、丁4名学生都准备选物理和化学，并且他们对政治、地理、生物三科没有偏好，则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率为
A．B． C． D．
12．已知函数的定义域为，且，则与的大小关系为
A．B．
C． D．无法确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量的概率分布列如下：
则 .
14．已知，则的展开式中的常数项是 .
15．某县城中学安排5位教师（含甲）去3所不同的村小学（含A小学）支教，每位教师只能支教一所村小学，且每所村小学都有教师支教，甲不去A小学，则不同的安排方法数为 （用数字作答）.
16．函数与的图象有三个交点，则实数的取值范围为 .
三、解答题：本大题共70分
17．(本题满分10分)
一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有3个交通岗，假设他在各个交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是.
（1）求这名学生在上学路上到第三个交通岗首次遇到红灯的概率；
（2）设为这名学生在上学路上遇到红灯的次数，求的分布列和数学期望（用分数作答）.
18．(本题满分12分)
4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书活动．为了解高二学生的课外阅读情况，现从高二某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取了10名学生参加问卷调查．参加问卷调查的人数统计如下：
（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一小组的概率；
（2）从参加问卷调查的甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用表示抽得甲组学生的人数，求的分布列和数学期望（用分数作答）.
19．(本题满分12分)
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，求在区间上的最大值与最小值.
20．(本题满分12分)
某中学有“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求和的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列与数学期望（用分数作答）.
21．(本题满分12分)
设，.
如果存在使得成立，求满足上述条件的最大值；
如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围.
22．(本题满分12分)
已知函数.
（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；
（2）当时，若实数满足，求证：.
数学答案（理科）
一、选择题：
1-5：DCBBC 6-10:ADBAC 11-12:DA
二、填空题：
13. . 14. 15. 15. 100. 16.
三、解答题：
17. 解：（1）记“这名学生在第个交通岗遇到红灯”为事件,“到第三个交通岗首次遇到红灯”为事件B, 则
………………………………5分
X的所有可能取值为0,1,2,3


X的分布列为
……………………………………………………………………………10分
解：（1）记“从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，这两名学生来自同一个小组”为事件A,则
…………………………………………………………………6分
（2）X的所有可能取值为0,1,2，
, , ,
则X的分布列为
…………………………………………………………………………………………………11分
.………………………………………………………12分
解：（1）的定义域为，，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.………………………………6分
（2），
设，.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，，
在上单调递减，
，.………………………………12分
解：（1）依题意有，解得：………………6分
（2）令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X,则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.………………………………………………………………………………7分



故X的分布列为：
………………………………………………………………………………………………11分
于是，………12分
（1）存在使成立，等价于.
由，得.
令，得；令，得，
又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，又，，
所以，.…………………6分
对于任意的，都有成立，等价于在区间上，.由（1）知在区间上，
在区间上，恒成立等价于恒成立.
设，
可知在区间上是减函数，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，所以，即的取值范围是.……………………12分
解：（1）当时，.
当时，，，故在上无零点；
当时，，在上单调递增，
，，故存在唯一的，使.
综上所述，函数在区间上有且只有一个零点.………………………………6分
（2）当时，，
故在上单调递增，又因为且，故，
要证，只需证，因为在上单调递增，
故只需证，即证，即证.
设，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
故在上单调递减，所以，所以，
所以.………………………………………………………………………………12分
0
1
0
1
2
3
0.1
0.1
0.3
0.3
小组
甲
乙
丙
丁
人数
3
4
2
1
X
0
1
2
3
P




X
0
1
2
P



X
0
1
2
3
4
5
6
P