宁夏吴忠中学2020-2021学年高二下学期期中考试文科数学试题（含答案与解析）

这是一份宁夏吴忠中学2020-2021学年高二下学期期中考试文科数学试题（含答案与解析），共12页。试卷主要包含了eq \f＝，O为坐标原点，F为抛物线C，已知函数f＝ex－ax，故选d等内容，欢迎下载使用。


一．选择题
1．eq \f(1＋2i,1－2i)＝( )
A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i B．－eq \f(4,5)+eq \f(3,5)i
C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i D．－eq \f(3,5)+eq \f(4,5)i
2.抛物线y＝4x2的焦点坐标为( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(0，eq \f(1,8)) D．(0，eq \f(1,16))
3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
4.已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq \r(5)，则a＝( D )
A.eq \r(6) B．4 C．2 D.eq \f(1,2)
5.有下列说法：
①若某商品的销售量y(件)关于销售价格x(元/件)的线性回归方程为＝－5x＋350，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；
②线性回归直线：＝x＋一定过样本点中心；
③在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；
④在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
其中正确的结论个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6.设F1和F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±eq \f(\r(3),3)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±eq \f(\r(21),7)x D．y＝±eq \f(\r(21),3)x
7.已知函数f(x)＝xlnx，则f(x) ( )
A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递增 D．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递减
8.已知P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2面积为( )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C. 3eq \r(3) D.eq \f(\r(3),3)
9.若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(3)) B．(－∞，－eq \r(3))∪ (eq \r(3)，＋∞)
C．(－eq \r(3)，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
答案：b
10.椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2) C．－eq \f(4,9) D．－eq \f(9,4)
11.曲线y＝2sinx＋csx在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
12.设函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2] B．[4，＋∞) C．(－∞，2] D．(0，3]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线上一点到其焦点距离为，则该点坐标为 .
14.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________．
15.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
16.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
三．解答题
１７.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
18．（1）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为eq \r(3).
（２）已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P(eq \r(6)，4)，则双曲线的方程是( C )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,32)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
19．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝1与x＝－eq \f(2,3)处都取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，2]的最大值与最小值．
20.如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2eq \r(7)，求四棱锥P­ABCD的体积．
21.（本小题12分）
已知椭圆，点是椭圆C上一点，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点M(0,2m)，当面积最大时，求m的值．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)＜0在[－1，＋∞)上有解，求a的取值范围．
吴忠中学2020—2021学年度第二学期高二年级
期中考试数学文试题
一．选择题
1．eq \f(1＋2i,1－2i)＝( )
A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i B．－eq \f(4,5)+eq \f(3,5)i
C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i D．－eq \f(3,5)+eq \f(4,5)i
解：eq \f(1＋2i,1－2i)＝eq \f(（1＋2i）2,5)＝eq \f(－3＋4i,5)＝－eq \f(3,5)+eq \f(4,5)i.故选D.
2.抛物线y＝4x2的焦点坐标为( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(0，eq \f(1,8)) D．(0，eq \f(1,16))
解：抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，故其焦点坐标为(0，eq \f(1,16))．故选d
3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
解：由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．故选A.
4.已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq \r(5)，则a＝( D )
A.eq \r(6) B．4 C．2 D.eq \f(1,2)
解析：解法1：由双曲线方程可知b2＝1，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(a2＋1)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋1),a)＝eq \r(5)，解得a＝eq \f(1,2)，故选D.
解法2：由e＝eq \r(5)，e2＝1＋eq \f(b2,a2)，b2＝1，得5＝1＋eq \f(1,a2)，得a＝eq \f(1,2)，故选D.
5.有下列说法：
①若某商品的销售量y(件)关于销售价格x(元/件)的线性回归方程为＝－5x＋350，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；
②线性回归直线：＝x＋一定过样本点中心；
③在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；
④在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
其中正确的结论个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解：对于①，线性回归方程为＝－5x＋350，当销售价格为10元时，销售量近似为300件，故①错误；
对于②，线性回归直线：＝x＋一定过样本点中心，故②正确；
对于③，与带状区域的宽度有关，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，故④错误；
对于④，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤正确．
所以正确的结论有2个．故选B.
6.设F1和F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±eq \f(\r(3),3)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±eq \f(\r(21),7)x D．y＝±eq \f(\r(21),3)x
解：由题设可知eq \r(c2＋4b2)＝2c⇒4b2＝3c2，即b2＝3a2⇒eq \f(b,a)＝eq \r(3).故选B.
【点拨】 本例考查双曲线中a，b，c的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．
7.已知函数f(x)＝xlnx，则f(x) ( )
A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递增 D．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递减
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)．当f′(x)>0时，解得x>eq \f(1,e)，即函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))；当f′(x)<0时，解得08.已知P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2面积为( )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C. 3eq \r(3) D.eq \f(\r(3),3)
解析：方法1：由椭圆的标准方程可得a＝5，b＝3，∴c＝4.设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，由椭圆的定义可得t1＋t2＝10①.
∵在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，∴根据余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64，整理可得teq \\al(2,1)＋teq \\al(2,2)－t1t2＝64②. 把①两边平方得teq \\al(2,1)＋teq \\al(2,2)＋2t1t2＝100 ③，由③－②得t1t2＝12，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)t1t2·sin∠F1PF2＝3eq \r(3).故选A.
方法2：由于椭圆焦点三角形的面积公式为S＝b2taneq \f(θ,2)，故所求面积为9tan30°＝3eq \r(3).故选c.
9.若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(3)) B．(－∞，－eq \r(3))∪ (eq \r(3)，＋∞)
C．(－eq \r(3)，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
答案：b
10.椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2) C．－eq \f(4,9) D．－eq \f(9,4)
解析：设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4xeq \\al(2,1)＋9yeq \\al(2,1)＝144,4xeq \\al(2,2)＋9yeq \\al(2,2)＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k，代入解得k＝－eq \f(2,3).
11.曲线y＝2sinx＋csx在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
解：因为y′＝2csx－sinx，所以y′|x＝π＝2csπ－sinπ＝－2，则y＝2sinx＋csx在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.
12.设函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2] B．[4，＋∞) C．(－∞，2] D．(0，3]
解：f′(x)＝x－eq \f(9,x)(x>0)，当x－eq \f(9,x)≤0时，有0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线上一点到其焦点距离为，则该点坐标为 .
14.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________．
解：f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1
15.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
解：由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，所以eq \(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up6(→))＝(c，－b)．因为eq \(NM,\s\up6(→))·eq \(NF,\s\up6(→))＝0，所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，所以e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)．所以椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2).
16.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解：令g(x)＝f(x)－2x－1，所以g′(x)＝f′(x)－2<0，所以g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.故选A.
三．解答题
１７.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为eq \f(40,50)＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为eq \f(30,50)＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2)K2＝eq \f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)＝eq \f(100,21)≈4.762.
由于4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
18．（1）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为eq \r(3).
解析：设P(x0，y0)，则x0＋1＝4，故x0＝3，所以y0＝±2eq \r(3).又F(1,0)，所以S△PFO＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1＝eq \r(3).
（２）已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P(eq \r(6)，4)，则双曲线的方程是( C )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,32)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，所以eq \f(b,a)＝2 ①.又双曲线过点P(eq \r(6)，4)，所以eq \f(6,a2)－eq \f(16,b2)＝1 ②.①②联立，解得a＝eq \r(2)，b＝2eq \r(2)，所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1，故选C.
19．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝1与x＝－eq \f(2,3)处都取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，2]的最大值与最小值．
解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f(x)在x＝1与x＝－eq \f(2,3)处都取得极值，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f′（1）＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋2a＋b＝0，,\f(12,9)－\f(4a,3)＋b＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝－2.))
即f(x)＝x3－eq \f(1,2)x2－2x，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)＞0⇒x＞1或x＜－eq \f(2,3)，
令f′(x)＜0⇒－eq \f(2,3)＜x＜1，
所以f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))，(1，＋∞)，单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1)).
(2)由(1)可知，
f(x)的极小值f(1)＝－eq \f(3,2)，f(x)的极大值feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \f(22,27)，而f(－1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝2，可得x∈[－1，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－eq \f(3,2).

20.如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2eq \r(7)，求四棱锥P­ABCD的体积．
解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
故BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点M，连结PM，CM.
由AB＝BC＝eq \f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，
因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq \r(2)x，PM＝eq \r(3)x，PC＝PD＝2x.
取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq \f(\r(14),2)x.
因为△PCD的面积为2eq \r(7)，所以eq \f(1,2)×eq \r(2)x×eq \f(\r(14),2)x＝2eq \r(7)，
解得x＝－2(舍去)，或x＝2，于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq \r(3)，
所以四棱锥P­ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(2×（2＋4）,2)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
21.（本小题12分）
已知椭圆，点是椭圆C上一点，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点M(0,2m)，当面积最大时，求m的值．
【答案】 解：由题意可得，且，，
解得，，
则椭圆的方程为；
由直线l的方程为，则到直线l的距离，
将直线代入椭圆方程可得，
由判别式，解得，
设，，
则，，
由弦长公式可得，
，
当且仅当时取得等号．
即当面积最大时，m的值为．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)＜0在[－1，＋∞)上有解，求a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝ex－ax(a∈R)，所以f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)＞0，则f(x)在R上单调递增；
当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝lna，f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减．
(2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，因为f(x)＜0在[－1，＋∞)上有解，所以f(－1)＝eq \f(1,e)＋a＜0，则a＜－eq \f(1,e).
当a＞0时，f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减．
①当0＜a≤eq \f(1,e)时，lna≤－1，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(－1)＝eq \f(1,e)＋a＜0，则a＜－eq \f(1,e)，不符合题意；
②当a＞eq \f(1,e)时，lna＞－1，f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－1，lna)上单调递减，
所以f(x)min＝f(lna)＝a－alna＜0，则a＞e.
综上，a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,e)))∪(e，＋∞)．
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(2,3)))
－eq \f(2,3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1))
1
(1，2)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗