河南省顶尖名校2021-2022学年高二上学期第二次素养调研数学试题（文）

河南省顶尖名校2021-2022学年高二上学期第二次素养调研

文科数学试卷

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ）

A．事件“都是红色卡片”是随机事件

B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件

C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件

D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件

2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.7 ，P(B)=0.15，，P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（    ）

A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.3

3．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（    ）

A．且   B．且    C．且   D．且

4．有20名学生参加数学夏令营活动，分A， B两组进行，每组10人夏令营结束时对两组学生进行了一次考核，考核成绩的茎叶图如图所示.则下列说法错误的是（    ）

A．A组学生考核成绩的众数是78       B．A，B两个组学生平均成绩一样

C．B组考核成绩的中位数是79         D．A组学生成绩更稳定

5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）

A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km

B．甲车以km/h的速度行驶1h消耗8L汽油

C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

D．若机动车最高限速km/h，在相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比较．

6．从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A．至少有一名男老师与都是男老师    B．至少有一名男老师与都是女老师

C．恰有一名男老师与恰有两名男老师  D．至少有一名男老师与至少有一名女老师

7．同时抛掷两枚硬币，则至少出现一枚正面向上的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．π B． C． D．

9．按如图所示的算法框图运算，若输入x=3，则输出k的值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ）

第1行78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98

第2行32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81

A．27 B．26 C．25 D．19

11．在平行四边形ABCD中，，， 且平面ABCD，，则（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

12．矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（4，4），则点P到抛物线准线的距离为 __________．

14. 双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率是__________．

15.过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是___________．

16．椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点O，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6，且，则椭圆的标准方程为______________________________.

三．解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分）

17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2sin2A+3cos（B+C）＝0．

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积，求b+c的值．

18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．

19．（12分）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．

判断上述三者的大小关系，并证明。

20．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1．

（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足bn＝（3n﹣1）•，求数列{bn}的前n项和为Tn．

21．（12分）已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．

（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；

（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．

22．（12分）如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，求△ABO周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．

文科数学答案

1~5．CDCCB     6~10．CDDBD       11~12．BA

13.  5     14.    15.     16.     

17．解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA﹣2＝0，

即（2cosA﹣1）（cosA+2）＝0，解得cosA或cosA＝﹣2（舍去），

由0＜A＜π，可得A；

（2）由，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝21，

即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81，

所以b+c＝9．

18．解：（1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

则：，即：（3+3d）2＝3（3+12d），

解得：d＝0或2（0舍去），

所以：an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．

（2）由于：an＝2n+1，则：n2+2n，

所以：．

则：Tn，

，．

19．证明：，证明如下：

因为（）2，

又a，b是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0，

所以（）2，当且仅当a＝b时，取等号，故；

因为（）20，当且仅当a＝b时，取等号，

所以；

故．

20．证明：（1）由0，得1，

∴3（），，

∴数列以为首项，3为公比的等比数列，

3n﹣1，

∴（n∈N*），

（2），

所以

两式相减得 ，

所以 。

21．解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，

∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，；

∴a﹣1＝0，∴a＝﹣2；

（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，

∴a＜0时，不等式可化为（x）（x+1）＜0；

若a＜﹣1，则1，解得﹣1＜x；

若a＝﹣1，则1，解得不等式为∅；

若﹣1＜a＜0，则1，解得x＜﹣1；

a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；

当a＞0时，不等式为（x）（x+1）＞0，

∵1，∴解不等式得x＜﹣1或x；

综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x}；

a＝﹣1时，不等式的解集为∅；

﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；

当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x}．

22．解：（1）∵AB∥ON，，∴，

又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0，），

在△AOB中，由正弦定理可知，，

∴AB，OA，

∴△AOB的周长f（θ），θ∈（0，）．

化简得f（θ）．

∴时，△AOB的周长有最大值为米．

答：△ABO周长的最大值为米；

（2）∵图2中△ABC与图1中△ABO面积相等，

而在△ABO中，∵OB＝r＝10，AB∥ON，，

∴．

由余弦定理知，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos∠OAB，

∴100＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB，

∴OA，当且仅当OA＝AB时取“＝”．

∴平方米．

答：花圃△ABC面积的最大值为平方米，此时OA＝AB米．