上海市青浦区2022届初三一模数学试卷

青浦区2021学年第一学期九年级数学学科练习卷

            （完成时间：100分钟    满分：150分）        2022.1

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]

1．下列图形，一定相似的是（    ）

（A）两个直角三角形；（B）两个等腰三角形；（C）两个等边三角形；（D）两个菱形．

2．如图，已知AB// CD//EF，它们依次交直线、于点A、C、E

和点B、D、F．如果AC∶CE =2∶3，BD=4，那么BF等于（    ）

（A）6；          （B）8；          （C）10；       （D）12．

3．在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ）

（A）；       （B）；        （C） ；     （D）．

4．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中

一定能判定DE∥AC的是（    ）

（A）；  （B）；    （C）；  （D）．

5．如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（    ）

（A）；   （B） ∥；    （C）；  （D） 与方向相同．

6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于

点F，则下列结论一定正确的是（　　）

（A）； （B）； （C）； （D）．

二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]

7． 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a = 1，b = 3，那么c =   ▲   ．

8． 计算：=   ▲   ．

9． 如果两个相似三角形的周长比为2∶3，那么它们的对应高的比为   ▲   ．

10．二次函数的图像有最   ▲   点．（填“高”或“低”）

11．将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是   ▲   ．

12．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在

对称轴左侧的部分是下降的，那么a   ▲   0．（填“＜”或“＞”）

13．在△ABC中，∠C=90º，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=   ▲   ．

14．如图，点G为等边三角形ABC的重心，联结GA，如果AG=2，

那么BC=   ▲   ．

15．如图，如果小华沿坡度为的坡面由A到B行走了8米，

那么他实际上升的高度为   ▲   米．                                                       

16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都

在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为   ▲   ．

17．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于

点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB

交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=   ▲   ．

18．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别

相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交

于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函

数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次

函数是（），那么这个一次函数的解析

式为   ▲   ．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）   [请将解题过程填入答题纸的相应位置]

19．（本题满分10分）

计算：．

20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上， CE、BD相交于点F，BF=3DF．

（1）求AE∶ED的值；

（2）如果，，试用、表示向量．

21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，．

（1）求AB的长；

（2）求点C到直线AB的距离．

22．（本题满分10分）

如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（AC∥BD）处测得教学楼

顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）

（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，

sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD=∠CBD，．

（1）求证：△AEB∽△DEC；

（2）求证：．

24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和

点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；

（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）

在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是

射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．

（1）求线段BC的长；

（2）当FB=FE时，求线段BF的长；

（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

2021学年第一学期九年级数学学科练习卷     

参考答案及评分说明2022.1

一、选择题：

1．C；      2．C；      3．A；      4．B；       5．D；        6．D．

二、填空题：

7．；     8．；    9．；    10．高；   11．；      12．；

13．；   14．；    15．；     16．；      17．；   18．．

三、解答题：

19．解：原式=．····························································（4分）

=．························································（4分）

=．························································（2分）

20．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC．···········································（2分）

            ∴．······························································（1分）

∵BF=3DF，∴．

∴．·······················································（1分）

∴．

∴AE∶ED=2．················································（1分）

（2）∵AE∶ED=2∶1，∴．

∵，

∴．·······················································（1分）

∵，

∴．·······················································（1分）

∵AD//BC，∴． ··············································（1分）

∵BF=3DF，∴．∴．

∴．·······················································（1分）

∴．·······················································（1分）

21．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．

∵AB=AD， ∴BH=HD．·········································（1分）

∵点D是BC的中点， ∴BD=CD．

∵BD=4，∴CD=4．

∴HC=6．····················································（1分）

∵，∴，∴．················································（1分）

∵，

∴．·······················································（2分）

（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G． ··························（1分）

∵，······················································（2分）

∴． ······················································（1分）

∴．

∴点C到直线AB的距离为．······································（1分）

22．解： 过点C作CH⊥BD，垂足为点H．·········································（1分）

由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米）．

在Rt△DHC中，∵，∴．···········································（4分）

在Rt△HCB中，∵，∴．············································（4分）

∴BD =HD+HB10.2 +4.6=14.8（米）．···································（1分）

答：教学楼BD的高度约为14.8米．

23．证明：（1）∵，

∴．······················································（1分）

又∵∠CDE=∠BDC，∴△DCE∽△DBC．·····························（1分）

∴∠DCE=∠DBC．·············································（1分）

∵∠ABD=∠DBC，

∴∠DCE=∠ABD．·············································（1分）

又∵∠AEB=∠DEC，∴△AEB ∽△DEC．·····························（2分）

（2）∵△AEB ∽△DEC，∴．·········································（1分）

又∵∠AED=∠BEC，∴△AED ∽△BEC．·····························（1分）

∴∠ADE=∠BCE．·············································（1分）

又∵∠ABD=∠DBC，∴△BDA ∽△BCE．····························（1分）

∴．······················································（1分）

∴． ······················································（1分）

24．解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入，得

   解得：   （2分）

所以，．  （1分）

当x=0时，．∴点C的坐标为（0，-3）．····························（1分）

（2）∵，∴点D的坐标为（1，-4）．··································（1分）

∵B（3，0）、C（0，-3）、D（1，-4），∴BC=，DC=，BD=．

∴． （1分）

∴∠BCD=90°． ··············································（1分）

∴tan∠CBD=． （1分）

（3）∵tan∠ACO=，∴∠ACO=∠CBD．···································（1分）

∵OC =OB，∴∠OCB=∠OBC=45°．∴∠ACO+∠OCB =∠CBD+∠OBC．

即：∠ACB =∠DBO．············································（1分）

∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．

（i）当时，

∴．∴BP=6．∴P（-3，0）．································（1分）

（ii）当时，

∴．∴BP=．∴P（-，0）．·································（1分）

综上，点P的坐标为（-3，0）或（-，0）．

25．解：（1）过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．

可得：AD=HG=2，AH=DG．∵tan∠ABC=2，AB=，

∴AH=2，BH=1．··············································（2分）

∴DG=2．

∵DC=，∴CG=．··············································（1分）

∴BC=BH+HG+GC=1+2+4=7．······································（1分）

（2）过点E作EM⊥BC，垂足为点M．可得EM=2．

由（1）得，tan∠C=．

∵FB=FE，∴∠FEB=∠FBE．

∵∠FEB=∠C，∴∠FBE=∠C．·······································（1分）

∴tan∠FBE=．∴，∴BM=4．·····································（1分）

∵，∴．····················································（1分）

∴BF=．·····················································（1分）

（3）过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N．

      ∵DE//CN，∴四边形DCNE是平行四边形．

      ∴DE=CN，∠DCB=∠ENB．

∵∠FEB=∠DCB，∴∠FEB=∠ENB．···································（1分）

又∵∠EBF=∠NBE，

∴△BEF ∽△BNE．············································（1分）

∴．∴．····················································（1分）

过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q．可得EQ=2，BQ=x+3．

∴．························································（1分）

∴．

∴． （2分）