人教版九年级数学下册微卷专训专训4　应用三角函数解实际问题的四种常见问题教案

专训4　应用三角函数解实际问题的四种常见问题

名师点金：

在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．

定位问题

1．【中考·天津】某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC..(取1..73，结果保留整数)

(第1题)

坡坝问题

2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 ..(结果精确到1米，参考数据：≈1..414，≈1..732)

(第2题)

测距问题

3．【2017·呼和浩特】如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)[来源:Z,xx,k..Com]

(第3题)

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

测高问题

4．【2016·茂名】如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．

(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；

(2)求旗杆CD的高度．

(第4题)

[来源:学。科。网]

答案

1．解：根据题意可知AB＝300 m..

如图所示，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D..在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，所以BD＝AB＝×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因为sin∠DCB＝，所以BC＝＝＝≈173(m)．

(第1题)

答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173 m..

点拨：本题也可过C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，则AD＝AB＝150 m，所以在Rt△ACD中，AC＝＝≈173(m)．所以BC＝AC≈173 m..

2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，

∴AE＝20米．

在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，

∴EF＝＝＝20(米)．

∴AF＝EF－AE＝20－20≈20×1..732－20＝14..64≈15(米)．

即AF的长度约是15米．

3．解：如图，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M..

(第3题)

由题意得，AC＝40×10＝400(m)．

在Rt△ACM中，∵∠A＝30°，

∴CM＝AC＝200 m，AM＝AC＝200 m..

在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°..[来源:学科网ZXXK]

∴BM＝CM·tan 20°..

∴AB＝AM－BM＝200－200tan 20°＝200(－tan 20°)m，

因此A，B两地的距离AB长为200(－tan 20°)m..

4．解：(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°..在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4米，∴AD＝＝＝4(米)．

答：教学楼与旗杆的水平距离AD是4米．

(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4米，∴CD＝AD·tan 60°＝4×＝12(米)．

答：旗杆CD的高度是12米．