人教版九年级数学下册优秀教案28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用

28....2....2  应用举例

第1课时  解直角三角形的简单应用

1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函數在解题过程中的作用；(重点)

2．能够把实际问题转化为數学问题，建立數学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm....点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°....

你能求出车架档AD的长吗？

二、合作探究

探究点：解直角三角形的简单应用

【类型一】 求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下數据：∠BDA＝76....1°，∠BCA＝68....2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0....1米)．参考數据：sin76....1°≈0....97，cos76....1°≈0....24，tan76....1°≈4....0；sin68....2°≈0....93，cos68....2°≈0....37，tan68....2°≈2....5....

解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m....在Rt△ABC中，根据三角函數得到AB＝2....5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函數得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m....在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2....5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2....5(x＋82)＝4x，解得x＝....∴AB＝4x＝4×≈546....7m....

答：AB的长约为546....7m....

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度數和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题

【类型二】 求不可到达的两点的高度

如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°....使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0....1cm，参考數据：≈1....732)?

解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．

 　　解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴BG＝FD....在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm....在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38....0(cm)．

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38....0cm....

方法总结：将实际问题抽象为數学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型三】 方案设计类问题

小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝1....6m，AD＝5....5m，CD＝5....2m，∠C＝90°，∠A＝53°....小锋的爸爸想买一辆长4....9m，宽1....9m的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．

(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；

(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考數据：sin53°＝0....8，cos53°＝0....6，tan53°＝)．

解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt△AGE中，依据正切函數求得AG的长，进而求得DG的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt△ALH中，依据正切函數求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB停放，如图③，在Rt△AMN中，依据正弦函數求得AM的长，进而求得DM的长．在Rt△PDM中，依据余弦函數求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可．

解：(1)如图①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝＝m≈3....68m，∴DG＝AD－AG＝5....5－3....68＝1....82m＜1....9m，故此方案不合理；如图②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝1....9m，∴AL＝＝≈1....43m，∴DL＝AD－AL＝5....5－1....43＝4....07m＜4....9m，故此方案不合理；

(2)如图③，过DA上一点M作MN⊥AB于点N，过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q，连PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1....9m，∴AM＝＝≈2....4，∴DM＝5....5－2....4＝3....1m....在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3....1m，∴PM＝＝≈5....1m＞4....9m，故此方案合理．

方法总结：本题主要是利用三角函數解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函數解决问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．求河宽和物体的高度；

2．其他应用类问题．

    本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习數学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题....