《整式的加减》单元复习与巩固（基础）知识讲解学案

《整式的加减》全章复习与巩固（基础）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；

3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、整式的相关概念

 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．

4．整式：单项式和多项式统称为整式．

要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．

【典型例题】

类型一、整式的相关概念 

1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．

    (1)  (2)5  (3)  (4)  (5)3xy  (6)  (7)  (8)1+a%  (9)

【答案与解析】

解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)

单项式：(2)、(5)、(6)，其中：

5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；的系数是，次数是1.

多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：

是一次二项式；是一次二项式；是一次二项式；1+a%是一次二项式；

是二次二项式。

【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故不是整式；②π是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如其实质为，其实质为．

举一反三：

【变式1】(1)的次数与系数的和是________；

    (2)已知单项式的系数是等于单项式的次数，则m＝________；

(3)若是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝________．

【答案】  (1)3  (2)1  (3)-5

【变式2】多项式是________次________项式，常数项是________，三次项是________．

【答案】四，五， 1 ，

【变式3】把多项式按x的降幂排列是________．

【答案】

类型二、同类项及合并同类项

2．（2015•遵义）如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015=　  　．

【答案】1．

【解析】

解：由同类项的定义可知

a﹣2=1，解得a=3，

b+1=3，解得b=2，

所以（a﹣b）2015=1．

【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可．

举一反三：

【变式】若与是同类项，则a＝________，b＝________．

【答案】 5 ， 4

类型三、去（添）括号

3． 计算

【答案与解析】

解法1：

解法2：

【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．

举一反三：

【变式1】下列式子中去括号错误的是(   )．
　　A．5x－(x－2y＋5z)＝5x－x＋2y－5z
　　B．2a2＋(－3a－b)－(3c－2d)＝2a2－3a－b－3c＋2d
　　C．3x2－3(x＋6)＝3x2－3x－6
　　D．－(x－2y)－(－x2＋y2)＝－x＋2y＋x2－y2

【答案】C

【变式2】化简：-2a+(2a-1)的结果是(    )．

    A．-4a-1    B．4a-1    C．1    D．-1

【答案】D

类型四、整式的加减

4.（2016•邢台二模）设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（　　）

A．x2﹣2x     B．x2+2x        C．﹣2     D．﹣2x

【思路点拨】根据题意得到B=C﹣A，代入A﹣B中，去括号合并即可得到结果．

【答案】C．

【解析】

解：根据题意得：A﹣B=A﹣（C﹣A）=A﹣C+A=2A﹣C=2（x2+x﹣1）﹣（x2+2x）=x2+2x﹣2﹣x2﹣2x=﹣2，

故选C.

【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．

举一反三：

【变式】计算：

【答案】原式

类型五、化简求值

5.　（1）直接化简代入

　 已知，，求的值．

  　（2）条件求值
　(烟台)若与的和是单项式，则________．

  　（3）整体代入
　已知x2-2y＝1，那么2x2-4y+3＝________．

【答案与解析】

解：（1）5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)

    ＝10x2y-15x-8x+6x2y

    ＝16x2y-23x

    当，y＝-1时，

    原式＝．

（2）  由题意知：和是同类项，所以m+5＝3，n＝2，解得，m＝-2，n＝2，所以．

（3）因为， 而

 所以．

【总结升华】整体代入求值的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．

举一反三：

【变式1】（2015•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（　　）

A．0   B．1    C．﹣1    D．﹣2

【答案】B

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题7】

【变式2】已知，求的值.

【答案】

所以，原式=．

类型六、综合应用

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题1】

6. 已知多项式                                                          

    是否存在m ，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.

【答案与解析】

解：原式

要使原式与无关，则需该项的系数为0，即有，所以   

答：存在使此多项式与x无关，此时的值为3.