2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业06《函数的奇偶性与周期性》（教师版）

课时作业6　函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　D　)

A．y＝ex＋e－x        B．y＝ln(|x|＋1)      C．y＝        D．y＝x－

解析：选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．

2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　B　)

A．－        B.           C．2        D．－2

解析：由已知得f(－)＝f()＝log2＝.故选B.

3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝(　D　)

A．3        B．－3         C．2        D．－2

解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

且f(x)＝所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3，

所以g(f(－7))＝g(－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－log2(3＋1)＝－2，故选D.

4．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　B　)

A．3        B．0           C．－1        D．－2

解析：设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，

所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.

5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　D　)

A.＋1        B.－1      C．－－1        D．－＋1

解析：由题可知f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，

所以f＝f＝f＝－f＝－f.

又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，则f＝－f＝－＋1.

6．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　D　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数

C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

解析：因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；x≤0时f(x)＝sinx有增有减，所以B错；x>0，f(x)＝x3＋x不为周期函数，C错；x>0，f(x)＝x3＋x>0；x≤0时f(x)＝sinx∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.

7．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x＋m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f()，b＝f(2)，c＝f(m＋1)，则a，b，c的大小关系为(　D　)

A．a<b<c        B．a<c<b          C．c<a<b        D．b<c<a

解析：由函数f(x)为偶函数，可知m＝0，即f(x)＝2|x|－1，

显然f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又||>1，|log2|＝|log32|<1，m＋1＝1，

∴a＝f()>c＝f(m＋1)>b＝f(2)，故选D.

8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，给出下列命题：

①当x>0时，f(x)＝e－x(x－1)；

②函数f(x)有3个零点；

③f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；

④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2.

正确个数为(　B　)

A．4        B．3            C．2        D．1

解析：由题意得，当x>0时，则－x<0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x(－x＋1)＝e－x(x－1)，所以①是正确的；

令ex(x＋1)＝0，可解得x＝－1，当e－x(x－1)＝0时，可解得x＝1，

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝0，故函数的零点有3个，

所以②是正确的；

因为当x<0时，由f(x)＝ex(x＋1)>0，解得－1<x<0；当x>0时，由f(x)＝e－x(x－1)>0，

解得x>1，故f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；

因为当x>0时，由f(x)＝e－x(x－1)，图象过点(1,0)，

又f′(x)＝e－x(2－x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，f′(x)<0，所以函数在x＝2处取得极大值f(2)＝，且当x→0时，函数值趋向于－1，当x→＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f(x)的图象，可得－1<f(x)<1，所以|f(x1)－f(x2)|<2成立，所以④是正确的．综上所述正确的个数为3，故选B.

二、填空题

9．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx，则f(f())的值为－ln2.

解析：由已知可得f()＝ln＝－2，所以f(f())＝f(－2)．又因为f(x)是奇函数，

所以f(f())＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.

10．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝－.

解析：由于f(－x)＝f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，

化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，∴a＝－.

11．已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称且f(2)＝4，则f(22)＝－4.

解析：因为y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，

即函数f(x)为奇函数，由f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)得f(x＋12)＋f(x＋6)＝2f(3)，

所以f(x＋12)＝f(x)，T＝12，因此f(22)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.

12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.

解析：因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，

所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，

所以f(4)＝f(0)＝0，由题知f(3)＝0，又f(3)＝f(－1)－f(1)，所以f(1)＝0.

在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(1)＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.

13．已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　B　)

A.        B.            C．π        D.

解析：由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，

则f(x＋2)＝f(x－2)，则f(x)＝f(x＋4)．

所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.故选B.

14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.

其中所有正确命题的序号是①②.

解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，

因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，

根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，

∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．

15．已知函数f(x)＝|2x－m|的图象与函数y＝g(x)的图象关于y轴对称，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是(　B　)

A.(-∞,]∪[4，＋∞)        B.[,2]       C．[2,4]        D．[4，＋∞)

解析：因为函数y＝g(x)与f(x)＝|2x－m|的图象关于y轴对称，所以g(x)＝|2－x－m|，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，所以函数f(x)＝|2x－m|和函数g(x)＝|2－x－m|在[1,2]上单调性相同，因为y＝2x－m和函数y＝2－x－m的单调性相反，所以(2x－m)(2－x－m)≤0在[1,2]上恒成立，即1－m(2x＋2－x)＋m2≤0在[1,2]上恒成立，即2－x≤m≤2x在[1,2]上恒成立，得≤m≤2，故选B.