2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业62《离散型随机变量及其分布列》（教师版）

这是一份2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业62《离散型随机变量及其分布列》（教师版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是( C )
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤5
解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，所以X＝6.
2．设随机变量Y的分布列为
则“eq \f(3,2)≤Y≤eq \f(7,2)”的概率为( C )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
解析：依题意知，eq \f(1,4)＋m＋eq \f(1,4)＝1，则m＝eq \f(1,2).故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
3．已知离散型随机变量X的分布列为
则P(eq \r(X)∈Z)＝( A )
A．0.9 B．0.8
C．0.7 D．0.6
解析：由分布列性质得0.5＋1－2q＋eq \f(1,3)q＝1，解得q＝0.3，∴P(eq \r(X)∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9.故选A.
4．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
解析：显然P(X>x2)＝β，P(Xx2)－P(X5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq \f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( B )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,x)·C\\al(1,10－x),C\\al(2,10))＝eq \f(x10－x,45)＝eq \f(16,45)，
∴x＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为eq \f(2,10)＝20%.
6．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))的是( D )
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
解析：由超几何分布知P(X＝2)＝eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n)).
二、填空题
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.
解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是eq \f(4,5).
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(3,4),C\\al(3,6))＋eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,4),C\\al(3,6))＝eq \f(4,5).
9．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为
解析：5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝0.3，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝0.6，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝0.1.
故优等品数X的分布列为
三、解答题
10．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率．
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
解：(1)由已知事件A：选出的2人参加义工活动次数之和为4，则P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4)＋C\\al(2,3),C\\al(2,10))＝eq \f(1,3).
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)＋C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(4,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,3)＋C\\al(1,3)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(4,15)，
则X的分布列为：
11．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)由已知，有P(A)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(6,35).所以事件A发生的概率为eq \f(6,35).
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,5)C\\al(4－k,3),C\\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．故P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(3,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5)C\\al(0,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
所以随机变量X的分布列为
12．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是
.
解析：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8Ceq \\al(2,3)对相交棱，因此P(ξ＝0)＝eq \f(8C\\al(2,3),C\\al(2,12))＝eq \f(8×3,66)＝eq \f(4,11).
若两条棱平行，则它们的距离为1或eq \r(2)，其中距离为eq \r(2)的共有6对，故P(ξ＝eq \r(2))＝eq \f(6,C\\al(2,12))＝eq \f(1,11)，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq \r(2))＝1－eq \f(4,11)－eq \f(1,11)＝eq \f(6,11)，
所以随机变量ξ的分布列是
13.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为eq \f(20×1＋100×2＋80×3,200)＝2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，
“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，
“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，
“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,100),C\\al(2,200))＋eq \f(C\\al(1,100)C\\al(1,80),C\\al(2,200))＝eq \f(100,199)，
P(X＝2)＝P(C)＝eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,80),C\\al(2,200))＝eq \f(16,199)，P(X＝0)＝P(D)＝eq \f(C\\al(2,20)＋C\\al(2,100)＋C\\al(2,80),C\\al(2,200))＝eq \f(83,199)，
∴X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(83,199)＋1×eq \f(100,199)＋2×eq \f(16,199)＝eq \f(132,199).
14．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数R(单位：公里)可分为三类车型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：
若甲、乙都选C类车型的概率为eq \f(3,10).
(1)求p，q的值；
(2)求甲、乙选择不同车型的概率；
(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
解：(1)由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)q＝\f(3,10)，,p＋q＋\f(1,5)＝1，))解得p＝eq \f(2,5)，q＝eq \f(2,5).
(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件A，则P(A)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5)，
所以甲、乙选择不同车型的概率是eq \f(3,5).
(3)X可能取值为7,8,9,10.
P(X＝7)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,20)，P(X＝8)＝eq \f(1,5)×eq \f(3,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，
P(X＝9)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5)，P(X＝10)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10).
所以X的分布列为：
Y
－1
2
3
P
eq \f(1,4)
m
eq \f(1,4)
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
eq \f(1,3)q
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
X
0
1
2
P
eq \f(4,15)
eq \f(7,15)
eq \f(4,15)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
ξ
0
1
eq \r(2)
P
eq \f(4,11)
eq \f(6,11)
eq \f(1,11)
ξ
0
1
eq \r(2)
P
eq \f(4,11)
eq \f(6,11)
eq \f(1,11)
X
0
1
2
P
eq \f(83,199)
eq \f(100,199)
eq \f(16,199)
车型
A
B
C
补贴金额(万元/辆)
3
4
5
X
7
8
9
10
P
eq \f(1,20)
eq \f(1,4)
eq \f(2,5)
eq \f(3,10)