第七章 第七节 空间向量求空间角及距离-2022届（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第七节  利用空间向量求空间角及距离

知识回顾

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝.

3．二面角

(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)．

4. 点到平面的距离

从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离

课前检测

1．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C. D.

2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)

A．(－1,1,1)  B．(1,－1,1)

C．  D．

3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC­A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．

4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD所成的角为________．

5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________．

课中讲解

考点一.异面直线所成的角

例1　(2019·湖北知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．

变式1.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．

例2.　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．

变式2.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

考点二.直线与平面所成的角

例1.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

变式1.如图，平面平面，且，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

例2.　如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．

(1)证明：EF⊥BC；

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

变式2.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求实数k的值．

考点三.二面角

例1.　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1) 证明：BC1∥平面A1CD；

(2) 求二面角DA1CE的正弦值．

变式1.[2018·天津高考]如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；

(2)求二面角E－BC－F的正弦值；

(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．

例2.　(2020·连云港模拟)如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形. SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°.

(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；

(2)若EF＝BC，求二面角B－SC－D的余弦值．

变式2.（2020年江西赣洲）如图，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，G是AB中点．

求证：平面BCF；

若，，求二面角的余弦值．

考点四.立体几何中的探索性问题

例1.已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．

(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；

(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M－EC－F的余弦值，若不存在，说明理由．

变式1.　如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝2，DE＝3.

(1)求证：平面ACE⊥平面BED；

(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；

(3)在线段AF上是否存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

例2.　(2019·天津市南开区南开中学月考)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2.

(1)求证：A1E⊥平面BCDE；

(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；

(3)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

考点五.点到平面的距离

例1.如图所示,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB＝2,求点A到平面MBC的距离．

变式1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的中点,则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是________.

课后习题

一．单选题

1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　 B.

C. D.

2．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　)

A. B.

C. D.

3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，二面角B­AA1­C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为(　　)

A. B.

C. D．2

4.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)

A. B.

C. D.

5．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(      )

A.   B.   C.   D.

二．填空题

7．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________.

8．如图，在正四面体ABCD中，E、F分别是BC和AD的中点，则AE与CF所成的角的余弦值为________．

.

解析　设四面体的棱长为a，

9．已知正四棱锥P—ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．

三．解答题

10．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C所在平面垂直，M是C上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．

11.如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD.

(1)求证：平面BED⊥平面ABCD；

(2)若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．

12．(2020·重庆诊断)如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体P－ABC，如图2所示．已知PB＝4.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若Q是线段AP上的点，且＝，求二面角Q－BC－A的余弦值．

13.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．