第四章 第六节 简单的三角恒等变换-2022届（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第六节 简单的三角恒等变换

知识回顾

1．公式的常见变形

(1)1＋cos α＝2cos2；

1－cos α＝2sin2；

(2)1＋sin α＝(sin＋cos)2；

1－sin α＝(sin－cos)2.

(3)tan ＝＝.

2．辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝.

课前检测

1.已知 是第二象限的角，，则 (　　)

A．
B．
C．
D．

2.若 ，则 等于(　　)

A． B．
C． D．

3.化简的结果是(　　)

A． B．
C． D．

4. 的值是(　　)

A． B．
C． D．

5.【2020年3月江苏南京秦淮区南京市第一中学高一下学期月考数学试卷】计算：________．

6．若f(x)＝2tan x－，则f的值为______．

课中讲解

考点一．三角函数式的化简

例1.化简，其中

变式1.化简．

例2.化简：．

变式2.化简 ．

例3．当π<α<2π时，化简：＝________.

变式3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.

例4．化简：－2cos(α＋β)．

考点二．三角函数的求值

1.给角求值

例1.求值： ________

变式1.【2020年浙江杭州浙江大学附属中学丁兰校区高一上学期期末考试数学试卷】
已知 ．

(1) 求 ；

(2) 求 .

例2.已知 ，，，．求 的值；

变式2.【2021年甘肃金昌永昌县甘肃省永昌县第一中学高三上学期期末考试数学试卷】公元前 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割数约为 ，这一数值也可以表示为 ，若 ，则 (　　)

A． B． C． D．

2.给值求值

例1.若，则的值为(　　)．

A． B．
C． D．

变式1.已知 ，求 的值．

例2.若，则的值为(　　)

A． B．
C． D．

3.给值求角

例1.已知 ，，且 ， 为锐角，试求 的值．

变式1.已知 ，，，，求 ．

例2　已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.

变式2.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．

考点三．三角恒等变换与三角函数的综合应用

例1.已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．

变式1.已知函数f(x)＝sin＋cos.

(1)求函数f(x)在区间上的最值；

(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．

课后习题

一．单选题

1.【2021年甘肃金昌永昌县甘肃省永昌县第一中学高三上学期期末考试数学试卷】公元前 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割数约为 ，这一数值也可以表示为 ，若 ，则 (　　)

A． B． C． D．

2.【2019年广东广州越秀区高一上学期期末考试数学试卷】函数的最小正周期是(　　)

A．
B．
C．
D．

3.化简的结果是(　　)

A． B．
C． D．

4. 的值是(　　)

A． B．
C． D．

5.已知 ，则 (　　)

A． B．
C． D．

6.下列各式中，值为 的是(　　)

A．
B．
C．
D．

二．多选题

7．(多选)函数f (x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

8．(多选)下列说法不正确的是(　　)

A．存在x0∈R，使得1－cos3x0＝log2

B．函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π

C．函数y＝cos 2的一个对称中心为

D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角

三．填空题

9.设则的大小关系是________

10．化简：·＝___________________.

11．(2019·淄博模拟)已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________.

12．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝__________.

13．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________．

14．在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为_______________________________________________．

15．函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．

四．解答题

16.已知函数．

(1) 求的最小正周期；

(2) 当，求的取值范围．

17.已知函数的最小正周期为．

(1) 求的值；

(2) 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求函数在区间上的最值．

18.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．