2022年高考二轮复习数学（文）专题检测08《空间几何体的三视图、表面积及体积》（教师版）

这是一份2022年高考二轮复习数学（文）专题检测08《空间几何体的三视图、表面积及体积》（教师版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．
2．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )
A．100π B.eq \f(256,3)π
C.eq \f(400,3)π D.eq \f(500,3)π
解析：选D 因为切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝eq \r(r2＋d2)＝eq \r(42＋32)＝5，故球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×53＝eq \f(500,3)π，即该西瓜的体积为eq \f(500,3)π.
3．(2019届高三·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A．4π B．2π
C.eq \f(4π,3) D．π
解析：选B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，得α＝eq \f(π,3)，故底面面积为eq \f(1,2)×eq \f(π,3)×22＝eq \f(2π,3)，则该几何体的体积为eq \f(2π,3)×3＝2π.
4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A．2 B．4＋2eq \r(2)
C．4＋4eq \r(2) D．4＋6eq \r(2)
解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其直观图如图所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq \r(2)，∠C＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2eq \r(2))×2＝4＋4eq \r(2).
5．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为( )
A.eq \f(1,2)π B.eq \f(\r(3),2)π
C．3π D.eq \f(4,3)π
解析：选B 还原几何体为如图所示的三棱锥A­BCD，将其放入棱长为1的正方体中，如图所示，则三棱锥A­BCD外接球的半径R＝eq \f(\r(3),2)，该几何体的外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(\r(3),2)π，故选B.
6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A.eq \f(4,3) cm3 B.eq \f(8,3) cm3
C．2 cm3 D．4 cm3
解析：选B 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm，高为2 cm的四棱锥，如图，故V＝eq \f(1,3)×22×2＝eq \f(8,3)(cm3)．
7．如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E­ABCD的外接球的表面积为( )
A.eq \f(16π,3) B．8π
C．16π D．64π
解析：选C 由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝eq \r(3)，所以R2＝4，所以多面体E­ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.
8．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )
A．63π B．72π
C．79π D．99π
解析：选A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×33＝63π.
9．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
A．28 B．24＋2eq \r(5)
C．20＋4eq \r(5) D．20＋2eq \r(5)
解析：选B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S＝ eq \f(1,2)×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×eq \r(22＋12)＝24＋2eq \r(5)，故选B.
10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和eq \r(3)的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(\r(3)π,3)
解析：选B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l＝2，底面半径r＝1，高h＝eq \r(3).由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)，故选B.
11．)某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．50 cm2 B．61 cm2
C．84 cm2 D．86 cm2
解析：选D 根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、高分别为1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm的长方体的表面积为2(5×5＋5×1＋5×1)＝2×35＝70(cm2)；长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm的长方体的表面积为2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm2)；长、宽、高分别为1 cm，1 cm,1 cm的长方体的表面积为2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm2)．由于几何体的叠加而减少的面积为2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm2)，所以所求表面积为70＋30＋6－20＝86(cm2)．
12．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq \f(BP,PD1)＝eq \f(1,2)，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C.eq \f(9,2) D．与M点的位置有关
解析：选B ∵eq \f(BP,PD1)＝eq \f(1,2)，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的eq \f(1,3)，
即为eq \f(D1C1,3)＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)，∴VM­PBC＝VP­MBC＝eq \f(1,3)×eq \f(9,2)×1＝eq \f(3,2).
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2 B．1
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
解析：选C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一个对角线长为2的正方形，底面积S＝ eq \f(1,2)×2×2＝2，高h＝1，则该几何体的体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(2,3)，故选C.
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2,3)
解析：选D 由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1­BB1C1和一个三棱锥C­BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D­ABC1D1，四棱锥D­ABC1D1的底面积为S四边形ABC1D1＝2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，高h＝eq \f(\r(2),2)，其体积V＝eq \f(1,3)S四边形ABC1D1h＝eq \f(1,3)×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2,3).
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析：选C 法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥S­ABCD，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VS­ABCD＝eq \f(1,3)S四边形ABCD·SD＝eq \f(1,3).
法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝eq \f(1,3)Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3).
16．已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为( )
A．10π B．25π
C．50π D．100π
解析：选D 设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9π，得△ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为AB⊥BC，所以点D为AC的中点，所以DC＝3.因为PA⊥平面ABC，易证PB⊥BC，所以PC为球O的直径．又PA＝8，所以OD＝eq \f(1,2)PA＝4，所以R＝OC＝eq \r(42＋32)＝5，所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π.
二、填空题
17．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________．
解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥P­ABCD所示，底面ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，作PO⊥AD于点O，则O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝eq \f(1,3)×1×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),6).
答案：eq \f(\r(3),6)
18.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D的体积为________．
解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，
所以BO⊥平面ACC1D.因为AB＝2，所以BO＝eq \r(3).
因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，
所以S梯形ACC1D＝eq \f(1,2)×(2＋4)×2＝6，
所以四棱锥B­ACC1D的体积为eq \f(1,3)×6×eq \r(3)＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
19.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________．
解析：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，
则r＝4cs α，圆柱的高为8sin α.
所以圆柱的侧面积为32πsin 2α.
当且仅当α＝eq \f(π,4)时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大，
所以圆柱的侧面积的最大值为32π.
答案：32π
20．已知在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6eq \r(3)，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．
解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6eq \r(3)，所以eq \f(a2,2)＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积VS­ABCD＝eq \f(1,3)a2h＝72h－eq \f(2,3)h3，令y＝72h－eq \f(2,3)h3，则y′＝72－2h2，令y′>0，得06，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.
答案：6