[中考专题]2022年北京市海淀区中考数学第一次模拟试题（含答案解析）

2022年北京市海淀区中考数学第一次模拟试题

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若，，且a，b同号，则的值为（    ）

A．4 B．-4 C．2或-2 D．4或-4

2、某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意可列不等式（　　）

A．10x﹣5（20﹣x）≥125 B．10x+5（20﹣x）≤125

C．10x+5（20﹣x）＞125 D．10x﹣5（20﹣x）＞125

3、下列四个实数中，无理数是（　　）

A． B．0.131313… C． D．

4、下列判断错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5、如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　）

A． B． C． D．

6、已知4个数：，，，，其中正数的个数有（    ）

A．1 B．     C．3 D．4

7、要使式子有意义，则（　　）

A． B． C． D．

8、若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

9、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝32°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（    ）

A．63° B．58° C．54° D．56°

10、下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）

A．ax2﹣bx+c＝0 B．2ax（x﹣1）＝2ax2+x﹣5

C．（a2+1）x2﹣x+6＝0 D．（a+1）x2﹣x+a＝0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为______．

2、如果将方程变形为用含的式子表示，那么_______．

3、如图，是用若干个边长为1的小正方体堆积而成的几何体，该几何体的左视图的面积为__________

4、如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，若∠COB＝50°，则∠AOD＝_______

5、如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．

（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；

（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，

①依题意，补全图形；

②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．

（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．

2、解分式方程：．

3、如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．

（1）说明BG与CF相等的理由．

（2）说明∠BGD与∠DGE相等的理由．

4、在光明中学开展的读书月活动中，七一班数学兴趣小组调查了七年级部分学生平均每天读书的时间（单位：分钟），根据统计结果制成了下列不完整的频数直方图和扇形统计图．请结合图中信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生人数为___________．

（2）补全频数直方图．

（3）根据以上调查，兴趣小组想制作倡议书发放给七年级平均每天读书的时间低于30分钟的学生，已知七年级一共有300名学生，请估计该兴趣小组需要制作多少份倡议书．并为读书的时间低于30分钟的学生同学提出一条合理建议．

5、某店以一共500元进价购得甲、乙两件商品，然后将甲、乙两件商品分别按和的利润标定出售价．

（1）如果按上述进价和售价进行交易，那么该店买卖这两件商品能否盈利260元？为什么？

（2）如果该店按原定售价八折促销，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款584元，那么甲、乙两商品原进价各多少元？

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据绝对值的定义求出a，b的值，根据a，b同号，分两种情况分别计算即可．

【详解】

解：∵|a|=3，|b|=1，

∴a=±3，b=±1，

∵a，b同号，

∴当a=3，b=1时，a+b=4；

当a=-3，b=-1时，a+b=-4；

故选：D．

【点睛】

本题考查了绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的数学思想，知道a，b同号分两种：a，b都是正数或都是负数是解题的关键．

2、D

【分析】

根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

【详解】

解：由题意可得，

10x-5（20-x）＞125，

故选：D．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．

3、D

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．无理数包括无线不循环小数和开方不能开尽的数，由此即可判定选择项．

【详解】

解：A．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B．0.131313…是无限循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；

C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

D．是无理数，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

题目主要考查立方根，无理数，有理数，理解无理数的定义是解题关键．

4、D

【分析】

根据等式的性质解答．

【详解】

解：A. 若，则，故该项不符合题意；   

B. 若，则，故该项不符合题意；

C. 若，则，故该项不符合题意；   

D. 若，则（），故该项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．

5、B

【分析】

取的中点，连接，交于点，则，，由，得，由，得，，则，，从而解决问题．

【详解】

解：矩形中，点，点分别是，的中点，

，，，

取的中点，连接，交于点，如图，

则是的中位线，

，，

，，

，

，

，

，

，

，，

，，

，，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出和的长是解题的关键．

6、C

【分析】

化简后根据正数的定义判断即可．

【详解】

解：=1是正数，=2是正数，=1.5是正数，=-9是负数，

故选C．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方、相反数、绝对值的意义，以及正负数的意义，正确化简各数是解答本题的关键．

7、B

【分析】

根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求得答案．

【详解】

解：要使式子有意义，

则

故选B

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是“分母不为0”是解题的关键．

8、D

【分析】

把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．

【详解】

解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0，

解得：m=2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．

9、C

【分析】

先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．

【详解】

解：∵∠A=33°，∠B=30°，

∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，

∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，

∴△ABC≌△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE=63°，

∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-63°-63°=54°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．

10、C

【分析】

根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．

【详解】

解：A．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B．2ax（x-1）=2ax2+x-5整理后化为：-2ax-x+5=0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C．（a2+1）x2-x+6=0，是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；

D．当a=-1时，（a+1）x2-x+a=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．

二、填空题

1、

【分析】

由题意知；如图过点作交于点，交于点；有四边形 与四边形均为平行四边形，且有， ，；；可得的值，由可知的值．

【详解】

解：如图过点作交于点，交于点；

四边形 与四边形均为平行四边形

， ，

由题意知

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，三角形相似等知识点．解题的关键在于作辅助线将平行线分线段成比例应用于相似三角形中找出线段的关系．

2、

【分析】

先移项，再系数化为1即可．

【详解】

解：移项，得：，

方程两边同时除以，得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程，将x看作常数，把y看做未知数，灵活应用等式的性质求解是关键．

3、3

【分析】

由题意，先画出几何体的左视图，然后计算面积即可．

【详解】

解：根据题意，该几何体的左视图为：

∴该几何体的左视图的面积为3；

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是正确的画出左视图．

4、130°130度

【分析】

先计算出，再根据可求出结论．

【详解】

解：∵，

∴

∵

∴

故答案为：130°

【点睛】

本题考查了角的计算及余角的计算，熟悉图形是解题的关键．

5、3

【分析】

根据平行可得：与高相等，即两个三角形的面积相等，根据图中三角形之间的关系即可得．

【详解】

解：∵，

∴与高相等，

∴，

又∵，

∴，

故答案为：3．

【点睛】

题目主要考查平行线间的距离相等，三角形面积的计算等，理解题意，掌握平行线之间的距离相等是解题关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，

【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；

（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；

（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．

【详解】

（1）∵，

∴是等腰三角形，

∵，

∴,，

∵AD为ABC的中线，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（2），证明如下：

如图2，在线段AB上取点G，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴；

（3）当时，如图3所示：

与（2）同理：在线段AB上取点H，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等腰三角形，AD为的中线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

当时，如图4所示：

在线段AB的延长线上取点N，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴， 

∴，

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．

2、

【分析】

先去分母，去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，最后进行检验．

【详解】

解：

去分母去括号得：

解得：

检验：当时，

∴分式方程的解为．

【点睛】

本题考查了解分式方程．解题的关键与难点在于将分式方程转化成整式方程．

3、

（1）见祥解

（2）见祥解

【分析】

（1）求出BD＝DC，∠GBD＝∠DCF，证出△BDG≌△CDF即可；

（2）根据线段垂直平分线性质得出EF＝EG，求出∠DFE＝∠DGE，∠DFE＝∠BGD，即可得出答案．

（1）

解 ∵D为BC中点，

∴BD＝DC（中点的定义），

∵BG∥FC（已知），

∴∠GBD＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），

在△BDG和△CDF中，

，

∴△BDG≌△CDF（ASA），

∴BG＝CF（全等三角形对应边相等）；

（2）

解：∵D是BC边的中点，DE⊥GF，即DE为线段GF的中垂线，

∴EF＝EG，

∴∠DFE＝∠DGE（等边对等角），）

∵∠DFE＝∠BGD（全等三角形对应角相等），

∴∠BGD＝∠DGE（等量代换）．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，证明三角形全等.

4、

（1）60

（2）见解析

（3）30，开卷有益，要养成阅读的好习惯（答案不唯一）

【分析】

（1）平均每天读书的时间10—30分钟的人数除以所占的百分比，即可求解；

（2）用总人数乘以平均每天读书的时间30—50分钟所占的百分比，即可求解；

（3）用300乘以平均每天读书的时间10—30分钟所占的百分比，即可求解．

（1）

解：本次调查的学生人数为名；

（2）

解：平均每天读书的时间30—50分钟的人数为名，

补全频数直方图如下图：

（3）

解：份．

建议：开卷有益，要养成阅读的好习惯

【点睛】

本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，能准确从统计图信息是解题的关键．

5、

（1）该店买卖这两件商品不可能盈利260元，原因见解析

（2）甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元

【分析】

（1）利用获得的总利润=两件商品的进价之和×50%，可求出两件商品均按50%的利润销售可获得的利润，由该值小于260即可得出结论；

（2）设甲商品的原进价为x元，则乙商品的原进价为(500-x)元，根据某顾客按八折购买共付款584元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

（1）

（元，，

该店买卖这两件商品不可能盈利260元．

（2）

设甲商品的原进价为元，则乙商品的原进价为元，

依题意得：，

解得：，

．

答：甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．