湖北省十堰市2021-2022学年高三上学期元月期末数学试题

十堰市2022年高三年级元月调研考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

3．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ）

A．﹣2   B．2  C．﹣6  D．6

5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，若，且则解下6个环所需的最少移动次数为（    ）

A．13   B．15  C．16  D．29

6．已知，，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（    ）

A．2  B．1  C．﹣2   D．﹣1

8．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（    ）

A．  B．  C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（    ）

A．样本甲的期望一定小于样本乙的期望

B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C．若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为

D．若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为

10．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的有（    ）

A．直线与平面垂直   B．直线BE与平面平行

C．三棱锥的体积等于  D．平面截正方体所得的截面面积为

11．已知函数，则（    ）

A．是周期函数  B．有无数个零点 C．是奇函数 D．

12．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（    ）

A．4   B．3   C．2   D．1

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线在处的切线方程为______．

14．若，则______．

15．如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第9行从左到右数第5个数是______，第9行排在奇数位置之和为______．（本题第一空2分，第二空3分）

16．已知双曲线的左焦点为，直线与W的左、右两支分别交于A，B两点，与y轴交于C点，O点是坐标原点．若，则W的离心率为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若，求a的最小化．

18．（12分）

已知数列的前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（12分）

某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．

（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，是等边三角形．

（1）证明：平面平面PCD；

（2）求二面角的余弦值．

21．（12分）

已知抛物线，，点在上，且不与坐标原点O重合，过点M作的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为，，．

（1）当时，求的值；

（2）当点M在上运动时，求的取值范围．

22．（12分）

已知函数．

（1）当时，恒成立，求b的值；

（2）当，且时，恒成立，求b的取值范围．

十堰市2022年高三年级元月调研考试

数学参考答案

1．D 因为，，所以．

2．B 解得，故z在复平面内所对应的点位于第二象限．

3．C 若曲线C是椭圆，则解得，且，所以“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．

4．A 因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，当时，，则．

5．B 由题可知：，，，，．

6．C 因为，，所以，又，所以，则，则．故．

7．D 因为，所以．

8．A 设，则由余弦定理知：，解得，故该四面体的棱长均为．该四面体底面外接圆的半径，高．故该四面体的体积为．

9．ACD 由图可知，样本甲和样本乙方差的关系为，故，B不正确．A，C，D显然正确．

10．BD 显然与不垂直，故直线与平面不垂直，A不正确．因为E，F分别为，的中点，所以．又平面，所以直线BE与平面平行，B正确．，C不正确．如图，取BC的中点G，连接AG，FG，则四边形为平面截正方体所得的截面，该四边形的面积为，D正确．

11．BC 易知不是周期函数，A不正确．由于，B正确；

，C正确；，D不正确

12．ABC 设，则

令，如图，当时，，则当直线经过点时，m取得最小值，且最小值为2；当直线与圆M的上半圆部分相切时，m取得最大值，且最大值为．当时，，则当直线经过时，m取得最小值，且最小值为2；当直线与圆M的下半圆部分相切时，M取得最大值，且最大值为．故选ABC．

13．，因为，当时，，，所以曲线在处的切线方程为．

14． ．

15．126；256 由题可知，图中第9行从左到右数第5个数是，第9行排在奇数位置的所有数字之和为．

16． 由题可知，，则．

解得，故A是CF的中点，则．设W的右焦点为，在中，由余弦定理知：，解得．由双曲线的定义知，，则W的离心率．（注：也可以求出A点坐标，代入方程求得．）

17．解：（1）因为，所以，

解得或（舍去）．

又为锐角三角形，所以．

（2）因为，

当且仅当时，等号成立，所以．故a的最小值为．

18．解：（1）当时，．

当时，．

又，所以．

（2）由（1）可知，，

，

则，

则

．故．

19．解：（1）从这6人中随机选出2人，共有种选法；

其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种．

故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．

（2）由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，

，，

，．

故X的分布列为

．

20．（1）证明：设，因为是等边三角形，

且，所以O是BD的中点，则．

又，所以，

所以，即．

又平面ABCD，平面ABCD，所以．

又，所以平面PAD．

因为平面PCD，所以平面平面PCD．

（2）解：以O为坐标原点，的方向分别为x，

y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，所以，，，，

，，．

设平面PBC的法向量，

则令，得．

设平面PCD的法向量，

则令，得．

，故二面角的余弦值为．

21．解：（1）因为，所以．

设过点M并与相切的直线方程为．

联立方程组整理得，

则．

由题可知，，即方程的两根，故．

（2）因为，所以可设过点M并与相切的直线的方程为．

联立方程组整理得，

则．由题可知，，．

又，所以．

当时，，所以，

当且仅当时，等号成立．当时，

，所以，

当且仅当时，等号成立．故的取值范围为．

22．解：（1）当时，令函数，

则等价于．因为，

所以为函数的极小值点．又，

所以，解得．当时，，

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故，符合题意．综上所述，．

（2）等价于，

即．

构造函数，则等价于．

因为，所以．

令函数，，则．

显然是增函数，则，单调递增，

所以，故，则．

又，所以在上单调递增，

所以当时，恒成立，

即，故b的取值范围是．