高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测06《等差数列与等比数列》小题练（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测06《等差数列与等比数列》小题练（教师版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是( )
A．20 B.36
C．24 D.72
解析：选C 由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋4d＝4，,6a1＋12d＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝1，))
∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故选C.
2．设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，若S1＝eq \f(1,3)a2－eq \f(1,3)，S2＝eq \f(1,3)a3－eq \f(1,3)，则公比q＝( )
A．1 B．4
C．4或0 D.8
解析：选B ∵S1＝eq \f(1,3)a2－eq \f(1,3)，S2＝eq \f(1,3)a3－eq \f(1,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,3)a1q－\f(1,3)，,a1＋a1q＝\f(1,3)a1q2－\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－\f(1,3)，,q＝0))(舍去)，故所求的公比q＝4.
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq \f(a5＋a6,a3＋a4)的值为( )
A.eq \f(1－\r(5),2) B.eq \f(\r(5)＋1,2)
C.eq \f(3＋\r(5),2) D.eq \f(3－\r(5),2)
解析：选C 设{an}的公比为q且q>0，因为a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，所以a1＋a2＝2×eq \f(1,2)a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝eq \f(1＋\r(5),2)或q＝eq \f(1－\r(5),2)<0(舍去)，所以eq \f(a5＋a6,a3＋a4)＝eq \f(a3＋a4q2,a3＋a4)＝q2＝eq \f(3＋\r(5),2)，故选C.
4．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2eq \r(2)，则lg2a7＋lg2a11的值为( )
A．1 B．2
C．3 D.4
解析：选C 由题意得a4a14＝(2eq \r(2))2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，
∴lg2a7＋lg2a11＝lg2(a7a11)＝lg28＝3，故选C.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝( )
A．27 B．36
C．45 D.54
解析：选D ∵在等差数列{an}中，2a8＝a5＋a11＝6＋a11，∴a5＝6，
故S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝9a5＝54.故选D.
6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(5n＋2,n＋3)，则eq \f(a2＋a20,b7＋b15)＝( )
A.eq \f(107,24) B.eq \f(7,24)
C.eq \f(149,12) D.eq \f(149,3)
解析：选A 由题知，eq \f(a2＋a20,b7＋b15)＝eq \f(S21,T21)＝eq \f(107,24).
7．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝( )
A．10 B．30
C．40 D.20
解析：选B 法一：设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))的公差为d.∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝eq \f(a9,9)－eq \f(a3,3)＝eq \f(12,9)－eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
∴d＝eq \f(1,9)，eq \f(a15,15)＝eq \f(a3,3)＋12d＝2.故a15＝30.
法二：由于数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列，故2×eq \f(a9,9)＝eq \f(a3,3)＋eq \f(a15,15)，即eq \f(a15,15)＝2×eq \f(12,9)－eq \f(2,3)＝2，故a15＝30.
8．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.若an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，an是偶数，,3an＋1，an是奇数，))且S3＝29，则a1＝( )
A．4 B．5
C．6 D.7
解析：选B 法一：若a1＝4k，则a2＝2k，a3＝k，此时S3＝7k＝29，由于k为整数，此时无解；若a1＝4k＋1，则a2＝12k＋4，a3＝6k＋2，此时S3＝22k＋7＝29，解得k＝1，即a1＝5；若a1＝4k＋2，则a2＝2k＋1，a3＝6k＋4，此时S3＝12k＋7＝29，由于k为整数，此时无解；若a1＝4k＋3，则a2＝12k＋10，a3＝6k＋5，此时S3＝22k＋18＝29，由于k为整数，此时无解．综上可知a1＝5.
法二：当a1＝4时，a2＝2，a3＝1，S3＝7，排除A；当a1＝5时，a2＝16，a3＝8，S3＝29，B符合题意，故选B.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1<0，若存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则当n>m时，Sn与an的大小关系是( )
A．SnC．Sn>an D.大小不能确定
解析：选C 若a1<0，存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则d>0，否则若d≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有Sm0，当m≥3时，有am＝Sm，因此am>0，Sm>0，又Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，显然Sn>an.故选C.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为( )
A．10 B．11
C．12 D.13
解析：选C 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以{an}为递减数列，又S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7<0，S12＝eq \f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.
11．已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝3an(n≥2，n∈N*)，其前n项和为Sn，则满足Sn≥eq \f(121,81)的n的最小值为( )
A．6 B．5
C．8 D.7
解析：选B 由an－1＝3an(n≥2)可得eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,3)(n≥2)，可得数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝eq \f(1,3)的等比数列，所以Sn＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n,1－\f(1,3))＝eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)).由Sn≥eq \f(121,81)可得eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))≥eq \f(121,81)，即1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n≥eq \f(242,243)，得n≥5(n∈N*)，故选B.
12．已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1＝eq \f(1,2)，前n项和为Sn，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝( )
A.eq \f(1,2n) B.eq \f(1,2n－1)
C.eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n－1 D.eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))n
解析：选A 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意知a1>0，且an＝eq \f(1,2)·qn－1，又S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以2(S5＋a5)＝S3＋a3＋S4＋a4，即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝a1＋a2＋2a3＋a1＋a2＋a3＋2a4，化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±eq \f(1,2)，又q>0，故q＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(1,2n)，选择A.
二、填空题
13．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝5，则lg5a1＋lg5a2＋…＋lg5a9＝________.
解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9＝a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝aeq \\al(2,5)＝52，则lg5a1＋lg5a2＋…＋lg5a9＝lg5(a1·a2·…·a9)＝lg5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝lg5aeq \\al(9,5)＝lg559＝9.
答案：9
14．数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝2n－1，且数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有λ2解析：由a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝2n－1，可得a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－2an－1＝2(n－1)－1＝2n－3(n≥2)，两式相减得2n－1an＝2(n≥2)，所以an＝22－n(n≥2)．又n＝1时，a1＝1，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1n＝1，,22－nn≥2，))所以Sn＝1＋20＋2－1＋…＋22－n＝1＋eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1,1－\f(1,2))＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－2，由Sn在n≥1时单调递增，可得1≤Sn<3，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ2<1，,4λ≥3，))解得eq \f(3,4)≤λ<1，所以实数λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
15．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝2,3Seq \\al(2,n)－2an＋1Sn＝aeq \\al(2,n＋1)，则an＝________.
解析：由S1＝2，得a1＝S1＝2.
由3Seq \\al(2,n)－2an＋1Sn＝aeq \\al(2,n＋1)，得4Seq \\al(2,n)＝(Sn＋an＋1)2.
又an>0，∴2Sn＝Sn＋an＋1，即Sn＝an＋1.
当n≥2时，Sn－1＝an，两式作差得an＝an＋1－an，即eq \f(an＋1,an)＝2.
又由S1＝2,3Seq \\al(2,1)－2a2S1＝aeq \\al(2,2)，求得a2＝2.∴当n≥2时，an＝2×2n－2＝2n－1.
验证当n＝1时不成立，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))
16．数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＝eq \f(2S\\al(2,n),2Sn－1)(n≥2)，则Sn＝________.
解析：当n≥2时，将an＝Sn－Sn－1代入an＝eq \f(2S\\al(2,n),2Sn－1)，得Sn－Sn－1＝eq \f(2S\\al(2,n),2Sn－1)，
化简整理，得Sn－Sn－1＝－2Sn－1·Sn，两边同除以Sn－1·Sn，得eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn－1)＝2(n≥2)，
又eq \f(1,S1)＝1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首项为1，公差为2的等差数列，所以eq \f(1,Sn)＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以Sn＝eq \f(1,2n－1).答案：eq \f(1,2n－1)
B级——难度小题强化练
1．已知首项为eq \f(3,2)的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，4a5＝a3.设Tn＝Sn－eq \f(1,Sn)，则数列{Tn}中最大项的值为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(7,8)
解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).又{an}不是递减数列且a1＝eq \f(3,2)，
所以q＝－eq \f(1,2)，故等比数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝(－1)n－1×eq \f(3,2n)，
Sn＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2n)，n为奇数，,1－\f(1,2n)，n为偶数.))当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn－eq \f(1,Sn)≥S2－eq \f(1,S2)＝eq \f(3,4)－eq \f(4,3)＝－eq \f(7,12).综上，对任意的n∈N*，总有－eq \f(7,12)≤Sn－eq \f(1,Sn)<0或02．已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若anA．[0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.[0,1)
解析：选A 由nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)＝λn(n＋2)得eq \f(an＋2,n＋2)－eq \f(an,n)＝λ，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，因为a1＝1，a2＝2，所以当n为奇数时，eq \f(an,n)＝1＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,2)－1))＝eq \f(n－1,2)λ＋1，所以an＝eq \f(n2－n,2)λ＋n.当n为偶数时，eq \f(an,n)＝1＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)－1))＝eq \f(n－2,2)λ＋1，所以an＝eq \f(n2－2n,2)λ＋n.当n为奇数时，由an－2，若n＝1，则λ∈R，若n>1，则λ>－eq \f(2,n－1)，所以λ≥0; 当n为偶数时，由an－2，所以λ>－eq \f(2,3n)，即λ≥0.综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)．选A.
3．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为( )
A．－10 B．－12
C．－9 D.－13
解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝11，,a6＝25))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝25，,a6＝11，))当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝11，,a6＝25))时，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－10，,d＝7，))此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝25，,a6＝11))时，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝46，,d＝－7，))此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，
∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．
综上，anan＋1的最小值为－12.
4．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则eq \f(2Sn＋16,an＋3)(n∈N*)的最小值为( )
A．4 B．3
C．2eq \r(3)－2 D.eq \f(9,2)
解析：选A ∵a1＝1，a1，a3，a13成等比数列，∴(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2或d＝0(舍去)，∴an＝2n－1，∴Sn＝eq \f(n1＋2n－1,2)＝n2，∴eq \f(2Sn＋16,an＋3)＝eq \f(n2＋8,n＋1).令t＝n＋1，则eq \f(n2＋8,n＋1)＝t＋eq \f(9,t)－2≥6－2＝4，当且仅当t＝3，即n＝2时等号成立．
5．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn＝aeq \\al(2,n)＋2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：当n＝1时，4a1＝aeq \\al(2,1)＋2a1，∴a1(a1－2)＝0，
∵an>0，∴a1＝2.
当n≥2时，4Sn＝aeq \\al(2,n)＋2an,4Sn－1＝aeq \\al(2,n－1)＋2an－1，两式相减得4an＝aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＋2an－2an－1，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵an>0，∴an－an－1＝2，故an＝2n.
答案：2n
6．已知数列{an}满足a1＝a2＝2，an＋2－[2＋(－1)n]an＝a2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＝3a2k＋2，即a2k＋2＋1＝3(a2k＋1)，所以数列{a2k＋1}(k∈N*)是以a2＋1为首项，3为公比的等比数列，所以a2k＋1＝(a2＋1)·3k－1＝3k，即当n为偶数时，an＝3－1；当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1＝a2k－1＋2，所以a2k＋1－a2k－1＝2，所以数列{a2k－1}(k∈N*)是以a1为首项，2为公差的等差数列，
所以a2k－1＝2＋2(k－1)＝2k，即当n为奇数时，an＝n＋1.
所以数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＋1，n为奇数，,3－1，n为偶数.))
答案：an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＋1，n为奇数，,3－1，n为偶数))