高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测27《坐标系与参数方程》大题练（教师版）

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(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝2t))消去t得，y＝2x，
把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcs θ，
所以直线l的极坐标方程为sin θ＝2cs θ.
(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.
圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝eq \f(\r(5),5)，
所以|AB|＝2eq \r(4－d2)＝eq \f(2\r(95),5).
2．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝sin α))(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2).直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的直角坐标方程；
(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)得ρcs θcseq \f(π,3)－ρsin θsineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，即eq \f(1,2)ρcs θ－eq \f(\r(3),2)ρsin θ＝eq \f(1,2)，
又ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，
∴直线l的直角坐标方程为x－eq \r(3)y－1＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝sin α))(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，
∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)t＋1，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)，
将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4eq \r(3)t－12＝0，
∴t1·t2＝－eq \f(12,7)，
故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝eq \f(12,7).
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋2cs α，,y＝2＋2sin α))(α为参数)，直线C2的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为(x－eq \r(3))2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2－2eq \r(3)x－4y＋3＝0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2eq \r(3)ρcs θ－4ρsin θ＋3＝0.
∵直线C2的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，
将θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)代入ρ2－2eq \r(3)ρcs θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝sin α))(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；
(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为eq \f(\r(6),2)＋eq \r(2)，求t的值．
解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，
即ρcs θ＋ρsin θ＝2，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝sin α))(α为参数，t>0)，
所以曲线C的普通方程为eq \f(x2,t2)＋y2＝1(t>0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,\f(x2,t2)＋y2＝1，))消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，
所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，又t>0，
解得0(2)由(1)知直线l的方程为x＋y－2＝0，
故曲线C上的点(tcs α，sin α)到l的距离d＝eq \f(|tcs α＋sin α－2|,\r(2))，
故dmax＝eq \f(\r(t2＋1)＋2,\r(2))＝eq \f(\r(6),2)＋eq \r(2)，解得t＝±eq \r(2).
又t>0，∴t＝eq \r(2).
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝\r(3)sin α))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3eq \r(2).
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．
解：(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1，由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3eq \r(2)，得ρcs θ－ρsin θ＝6，∴曲线C2的直角坐标方程为x－y－6＝0.
(2)设点M的坐标为(3cs β，eq \r(3)sin β)，点M到直线x－y－6＝0的距离d＝eq \f(|3cs β－\r(3)sin β－6|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＋6)),\r(2))＝eq \f(6＋2\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),\r(2))，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝－1时，|MN|有最小值，最小值为3eq \r(2)－eq \r(6)，此时点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，－\f(\r(3),2))).
6．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
解：(1)由题意知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)，
因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，
把y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cs α)t＋3＝0，
由Δ＝(4cs α)2－4×3>0，得cs2α>eq \f(3,4)，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cs α，t1t2＝3.
不妨令|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，所以|PQ|＝|t1－t2|，
因为|PQ|2＝|AP|·|AQ|，所以(t1－t2)2＝|t1|·|t2|，
则(t1＋t2)2＝5t1t2，得(－4cs α)2＝5×3，
解得cs2α＝eq \f(15,16)，满足cs2α>eq \f(3,4)，
所以sin2α＝eq \f(1,16)，tan2α＝eq \f(1,15)，
所以k＝tan α＝±eq \f(\r(15),15).
7．平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs α，,y＝－4＋tsin α))(t为参数)，
ρsin2θ＝2cs θ，即ρ2sin2θ＝2ρcs θ，将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，
得t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝eq \f(2cs α＋8sin α,sin2α)，t1t2＝eq \f(20,sin2α)，
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq \f(20,sin2α)＝40，得α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4).
又Δ＝(2cs α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝eq \f(π,4).
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).
l与⊙O交于两点需满足eq \f(\r(2),\r(1＋k2))<1，
解得k<－1或k>1，
即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))或α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
综上，α的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝－\r(2)＋tsin α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝eq \f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq \r(2)tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2eq \r(2)sin α，tP＝eq \r(2)sin α.
又点P的坐标(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tPcs α，,y＝－\r(2)＋tPsin α，))
所以点P的轨迹的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)sin 2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cs 2α))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).