八年级数学秘籍——探索“一线三等角”模型（原卷版）学案

探索“一线三等角”模型

【常见图形】

【典例解析】

【例1】（2020·广东高州期中）如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：

（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；

（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝　   　．（不要求写过程）

【例2】（2020·四川巴州期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．

【例3】（2020·潮州市潮安区月考）问题背景：

（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．

拓展延伸：

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）

实际应用：

（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．

【例4】（2020·广东广州月考）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．

【例5】（2020·曲阜月考）如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线 OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA＋BO＝______________

【习题专练】

1.（2020·广东英德期末）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．

图1

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

图2

（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

图3

2.（2020·湖北武汉月考）如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M

（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:

（2）求证:M为BE的中点

（3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值

3.（2019·黑龙江齐齐哈尔期中）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）求证：△AEC≌△CDB；

（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；

（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．

4.（2020·三台县月考）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

5．（2019·舞钢市月考）小强为了测量一幢楼的高度AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P（如图）．测得视线PC与地面所成的夹角∠DPC=36°，视线PA与地面所成的夹角∠APB=54°，已知旗杆的高度CD是10米，量得P到楼底距离PB也是10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=25米，小强计算出了楼高，(旗杆与楼都和地面垂直）请问楼高AB是_____________米．

6.（2019·海口市月考）在中，，，直线经过点，且于，于．

(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，

①求证：≌；

②求证：；

(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

7.（2019·齐齐哈尔市期中）综合与探究

如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为.

（1）过点作轴，求的长及点的坐标；

（2）连接，若为坐标平面内异于点的点，且以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出满足条件的点的坐标；

（3）已知，试探究在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.