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初中数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数一课一练
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这是一份初中数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数一课一练，共92页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。
专题26.2 实际问题与反比例函数
典例体系（本专题共63题65页）
一、知识点
反比例函数的一般步骤
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
二、考点点拨与训练
考点1：一次函数与反比例函数的综合应用
典例：（2020·江苏盐城·初二期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求这两个函数的表达式
（2）请结合图像直接写出不等式的解集
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标
方法或规律点拨
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键y.com
巩固练习
1．（2020·宁波市第七中学期末）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）】
A． B．C． D．
2．（2020·山西初二月考）如图，一次函数与反比例函数分别交于两点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2019·山西期末）如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
4．（2020·黑龙江虎林·期末）如图,反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为________________．
5．（2020·江苏盐城·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于、两点，过点作轴的垂线，交函数的图像于点，连接，则的面积为 _________．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）已知平面直角坐标系中，点，若直线与双曲线交于点，与轴交于点 ．探究：由双曲线与线段、、 围成的区域内（不含边界） 整点的个数． （点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）
①当时，如图，区域 内的整点的个数为__________个．
②当 时，若区域内恰好有个整点，则的取值范围是__________．
7．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．
8．（2020·河南一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与轴交于，与轴交于，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式：的解集；
（3）是轴上一动点，直接写出叫的最大值和此时点的坐标．
9．（2020·兰州市第四十九中学二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
10．（2020·湖南永定·期中）如图，已知A（−4，2），B（n，−4）是一次函数的图象与反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）
11．（2020·宁波市第七中学期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第二象限内，点C在x轴的负半轴上，且AC=AO，∆ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）求点A，点B的坐标；
（3）根据图象，当>时，请直接写出x的取值范围．
12．（2020·河北初三其他）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，3），（3，2），（﹣2，﹣），其中两点同时在反比例函数y＝的图象上，将两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AB对应的一次函数的解析式；
（3）连接AC、BC，求△ABC的面积．
13．（2020·山西尧都·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，的面积是3，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；
（2）求的面积．
14．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点与轴相交于点,且,直线的反比例函数的图象交于。两点,点的纵坐标为,连接．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察图象,直接写出的解集．
15．（2020·河北月考）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即；由周长为m，得2（x+y）=m，即y=-x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数（x＞0）的图象如图所示，而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x．
（3）平移直线y=-x，观察函数图象
在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
考点2：反比例函数与几何图形的综合问题
典例：（2020·山西二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为（-4,0）（-1,0）．点的纵坐标为，边与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，猜想四边形是什么特殊四边形，并加以证明．
方法或规律点拨
本题考查反比例函数与平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形判定方法和性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山西二模）探究课上，老师给出问题“一艘轮船上装有吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为吨/小时，卸完这批货物所需的时间为小时．若要求不超过小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？”．如图，小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象发现:当时，．所以小华得出此题答案为；平均每小时至少要卸货吨．小华的上述方法体现的数学思想是（ ）
A．公理化 B．数形结合 C．分类讨论 D．由特殊到一般
2．（2020·山东日照·二模）如图，点A、B在双曲线y(x)＝（x＞0）上，点C在双曲线g(x)＝（x＞0）上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝4BC．则S△ABC＝（ ）
A． B． C．9 D．
3．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（ ）
A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
4．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，∥轴，且点C的坐标为，，．将矩形向右平移，得矩形使点，恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点，B在轴的正半轴上，点A坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则的值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD＝5：3，则k＝（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
7．（2019·河北宣化·初三二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·宁波市第七中学期末）如图，在四边形ABCD中，AC⟂BD于点E，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上．若∆ABE与∆CDE的面积之比为1：2，则∆ABC的面积为______．
9．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,平行四边形的顶点的坐标分别为函数的图象经过点,则的值为__________．.版权所有
10． （2020·辽宁绥中·初三二模）如图，双曲线经过四边形的顶点，，，是与轴正半轴的夹角的角平分线，轴．将沿翻折后得，点落在上，则四边形的面积是______．
11．
11．（2020·山西期中）已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，0)，等腰直角三角形的直角顶点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把向右平移个单位长度，对应得到．当这个函数图象经过一边的中点时，求的值．
13．（2020·山西晋中·初三月考）阅读材料
公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的．那么．退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？
在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角置于平面直角坐标系中，角的一边与的图象交于点M，在轴上，以点M为圆心，为半径画弧交的图象于点N．分别过点M和N作轴和轴的平行线，两线相交于点E，F，和相交于点G，连接得到．
此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明．下面是他的部分证明思路：
由题意，可知点M，N在反比例函数的图象上，
先假设点M，N的坐标分别为，，
则点E，F的坐标可表示为，
则直线的表达式为__________．
由此，可以判断矩形的顶点E在直线上．
…
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）用含，的代数式表示直线的表达式：__________．
（2）试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“”的证明．
14．（2019·上海市市西初级中学期末）如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.
求的值；
当时，求直线的解析式；
在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
15．（2020·新疆初三三模）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围．
16．（2020·辽宁省实验中学分校初三期中）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
考点3：反比例函数的实际应用问题
典例：（2020·辽宁建平·初三期末）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子.
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、.
①求y关于x的函数表达式；
②当时，求x的取值范围；
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？
方法或规律点拨
本题考查反比例函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·江苏灌云·初二月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01m3)
2．（2019·山西期末）综合与实践
如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)、B(m，n)．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．
（1）填空：k=____________；a=_______________；
（2）利用所给函数图象，写出不等式的解集_____________；
（3）如图2，正比例函数的图象，反比例函数的图象交于点P，Q，
试说明以A，B，P，Q为顶点的四边形一定是平行四边形，但不可能是正方形；
（4）如图3，当点P在点A的左上方时，过P作直线轴于点M，过点A作直线轴于点N．交直线PM于点D．若四边形OADP的面积为6．求点P的坐标．
3．（2020·河南其他）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强与木板面积的对应值如下表：
木板面积
1
1.5
2
2.5
3
4
木板对地面的压强
600
400
300
240
200
150
（1）求P与S之间满足的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大?
4．（2020·黑龙江虎林·期末）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围）
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
5．（2020·江西初三一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度（℃）与时间（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
6．（2019·涡阳县王元中学初三月考）你吃过拉面吗?在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x>0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请写出点P的实际意义；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）当面条的横截面积是3.2mm2时，求面条的总长度．
7．（2020·合肥工业大学附属中学初三月考）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
8．（2020·浙江萧山·初三其他）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？
9．（2020·湖南澧县·初三月考）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
10．（2019·河南初三专题练习）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
11．（2020·贵州江口·初三期末）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；
（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？
12．（2020·河南洛宁·初二期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范为________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为________．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
13．（2018·福建南安·初二期中）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当≥80时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？
14．（2020·安徽安庆·初三月考）小芳从家骑自行车去学校，所需时间()与骑车速度()之间的反比例函数关系如图．
(1)小芳家与学校之间的距离是多少？
(2)写出与的函数表达式；
(3)若小芳点分从家出发，预计到校时间不超过点分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？
考点4：反比例函数与二次函数的综合问题
典例：（2020·河北初三专题练习）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.
方法或规律点拨
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．
巩固练习
1．（2018·洛阳市洛龙区龙城双语初级中学月考）如图，已知函数 与的图象交于点，点的纵坐标为１，则关于的方程的解为_____________．
2．（2020·湖南天心·长郡中学初三期中）如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江高照实验学校初三月考）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
4．（2020·石家庄外国语教育集团初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数和反比例函数的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广西平桂·初三期中）函数与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2020·湖南茶陵·初三期末）反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·山东五莲·初三期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是
A． B． C． D．
8．（2018·全国初三课时练习）如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）
A．甲 乙
B．甲 丙
C．乙 丙
D．丙 丁
9．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·福建省漳州市第一中学初三）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A． B． C． D．
11．（2020·广东珠海·紫荆中学初三其他）反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的( )
A． B．
C． D．
12．（2020·新疆初三其他）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
13．（2019·福建初三其他）如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1与y2交于点A(4，yA)，则下列命题中，假命题是( )
A．当x＞4时， B．当时，
C．当时，0＜x＜4 D．当时，x＜0
14．（2020·江西金溪一中初三一模）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
专题26.2 实际问题与反比例函数
典例体系（本专题共63题65页）
一、知识点
反比例函数的一般步骤
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
二、考点点拨与训练
考点1：一次函数与反比例函数的综合应用
典例：（2020·江苏盐城·初二期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求这两个函数的表达式
（2）请结合图像直接写出不等式的解集
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标
【答案】（1）反比例函数：y=；一次函数：y=-x+5；（2）0＜x≤1或x≥4；（3）（1，0）或（9，0）．
【解析】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
把B（4，n）代入y=，
得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图象得：当或时，；
∴不等式的解集为或；
（3）如图，设直线与轴交于点，
∵直线与轴交于点，
∴点坐标为，
的面积为6，
∴
，
∴点的坐标为或．
方法或规律点拨
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键
巩固练习
1．（2020·宁波市第七中学期末）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】A、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象经过二、三、四象限，则k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
B、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、三象限，则k＞0， k的取值不同，故此选项错误；
D、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、四象限，则k＜0，与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值相同，故此选项正确；
故选：D．
2．（2020·山西初二月考）如图，一次函数与反比例函数分别交于两点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】解：观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是或．
故选：C．
3．（2019·山西期末）如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
【答案】8
【解析】∵函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，
∴,解得，,或，
∴点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（2，-2），
∵A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴AC=BD=2，AC∥BD，CD=4，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∴四边形ACBD的面积是2×4=8．
4．（2020·黑龙江虎林·期末）如图,反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为________________．
【答案】
【解析】作BD⊥x轴于D，
由对称性知，OA=OB，
∵∠AOC=∠BOD，AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠OCA=∠ODB=90º，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，
S△AOC=S△BOC =S△ABC=2，
设A（x,y）点A在第一象限，x>0，y>0，
∴OC=x，AC=y，
∴S△AOC=OC•AC=xy=2，
∴xy=4=k，
∴y=．
故答案为：y=．
5．（2020·江苏盐城·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于、两点，过点作轴的垂线，交函数的图像于点，连接，则的面积为 _________．
【答案】3
【解析】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．
∵AC⊥y轴于E，
∴S△AOE=×2=1，S△OEC=×1=，
∴S△AOC=，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△ABC=2S△AOC=3，
故答案为：3．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）已知平面直角坐标系中，点，若直线与双曲线交于点，与轴交于点 ．探究：由双曲线与线段、、 围成的区域内（不含边界） 整点的个数． （点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）
①当时，如图，区域 内的整点的个数为__________个．
②当 时，若区域内恰好有个整点，则的取值范围是__________．
【答案】 或＜b≤．
【解析】解：∵A（4，1），
∴直线OA为y=x，
∵直线y1=x+b
∴直线y1与OA平行，
①当b=-1时，直线解析式为y1=x-1，
解方程得x1=2-2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），
而C（0，-1），
∴区域M内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个，
故答案为3；
②直线y1在OA的下方时，当直线y1=x+b过（1，-1）时，b=-，
且经过（5，0），
∴区域M内恰有4个整点，b的取值范围是-≤b＜-1．
直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y2=（x＞0）的图象上，
当直线y1=x+b过（1，2）时，b=，
当直线y1=x+b过（1，3）时，b=，
∴区域M内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．
综上所述，区域M内恰有4个整点，b的取值范围是或＜b≤．
故答案为或＜b≤．
7．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．
【答案】（1）y1=-2x+10，；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）15．
【解析】解（1）把点B（4，2）代入反比例函数得，k2=4×2=8
∴反比例函数的解析式为
将点A（m，8）代，解得m=1
∴A（1，8）
将A、B的坐标代入，得
，解得
∴一次函数的解析式为y1=-2x+10；
（2）如图；∵A（1，8），B（4，2）
∴，即的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图：连接AO、BO
∵y1=-2x+10
∴C（0,10），D（5，0），即OD=10,OC=5
∴S△ACD= , S△AOC= S△BOD=
∴S△AOB=S△ACD-S△AOC-S△BOD=25-5-5=15．
8．（2020·河南一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与轴交于，与轴交于，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式：的解集；
（3）是轴上一动点，直接写出叫的最大值和此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）的最大值为，此时P点坐标为
【解析】（1）过作轴于，
∴轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即：，
将代入得：，
∴直线的解析式为：
把代入得：
把代入得：，
∴
故答案为：，
（2）由图象可知当时，
故答案为：
（3）作点关于轴的对称点，的延长线于轴的交点即为所求点
∵
∴
∵
设直线的解析式为y=kx+b
∴
解得
∴直线的解析式为y=2x+6
当x=0时，y=6
∴
的最大值为
故答案为：的最大值为，此时P点坐标为
9．（2020·兰州市第四十九中学二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；（2）
【解析】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝．
10．（2020·湖南永定·期中）如图，已知A（−4，2），B（n，−4）是一次函数的图象与反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．
【答案】（1）；；（2）C（－2，0）；6；（3）0＜x＜2或x＜－4．
【解析】（1）∵A（－4，2）在上，
∴m=－8．
∴反比例函数的解析式为．
∵B（n，﹣4）在上， ∴n=2． ∴B（2，－4）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
，解得
∴一次函数的解析式为．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=－2．∴点C（－2，0）．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=
（3）不等式的解集为0＜x＜2或x＜－4．
11．（2020·宁波市第七中学期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第二象限内，点C在x轴的负半轴上，且AC=AO，∆ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）求点A，点B的坐标；
（3）根据图象，当>时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示：
∵AC=AO，
∴DO=CD，
设点，则有OD=-a，AD=-3a，OC=-2a，
∵△ACO的面积为12，
∴，即，
把点代入反比例函数解析式得：
，解得：；
（2）由（1）可得：，
联立正比例函数及反比例函数解析式得：
，解得：，
把代入正比例函数得：，
∴；
（3）由（2）及图像可得：当>时，x的取值范围为：
或．
12．（2020·河北初三其他）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，3），（3，2），（﹣2，﹣），其中两点同时在反比例函数y＝的图象上，将两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AB对应的一次函数的解析式；
（3）连接AC、BC，求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝；（2）y＝x+；（3）S△ABC＝6．
【解析】（1）∵反比例函数y＝的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，
∴1×3＝（﹣2）×（）＝3≠3×2，
∴点（1，3），（﹣2，），在同一反比例函数的图象上，且k＝3；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
（3）S△ABC＝5×4.5﹣×2×1﹣×3.5×5﹣×3×4.5＝6．
13．（2020·山西尧都·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，的面积是3，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1），；（2）1
【解析】解：（1）∵轴，点，
∴点，，
∵点，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的函数表达式为，
将，代入，
得，解得，
∴一次函数的函数表达式为；
（2）当时，，
∴点，
∴，
∴．
14．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点与轴相交于点,且,直线的反比例函数的图象交于。两点,点的纵坐标为,连接．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察图象,直接写出的解集．
【答案】（1）直线的表达式为；反比例函数的表达式为；（2）；（3）或
【解析】解：（1）∵
∴OB=1
即点B的坐标为（0,1）
将点A、B的坐标代入中，得
解得：
∴直线的表达式为
将y=2代入中，解得：x=-2
∴点D的坐标为（-2，2）
将点D的坐标代入中，得
解得：m=-4
∴反比例函数的表达式为；
（2）联立
解得：或（符合点D坐标）
∴点C的坐标为（4，-1）
过点D作DE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F
∴DE=2，CF=1，OA=2
∴；
（3）由图象可知：的解集为x＜-2或0＜x＜4．
15．（2020·河北月考）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即；由周长为m，得2（x+y）=m，即y=-x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数（x＞0）的图象如图所示，而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x．
（3）平移直线y=-x，观察函数图象
在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
【答案】（1）一．（2）见解析；（3）交点个数有：0个、1个、2个三种情况，0个交点时，m＜8；1个交点时，m=8； 2个交点时，m＞8；（4）m≥8
【解析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
故答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y=和y=-x+并整理得：x2-mx+4=0，
∵△=m2-4×4，
∴0个交点时，m＜8；1个交点时，m=8； 2个交点时，m＞8；
（4）由（3）得：m≥8，
故答案为：m≥8．
考点2：反比例函数与几何图形的综合问题
典例：（2020·山西二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为（-4,0）（-1,0）．点的纵坐标为，边与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，猜想四边形是什么特殊四边形，并加以证明．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）四边形是平行四边形，证明见详解．
【解析】解:∵点的纵坐标为，
将代入中，得．
点坐标为（2，4）．
∵B，C两点的坐标分别为（-4，0），（-1，0），
，
∵四边形是平行四边形，
．
点的横坐标为，
点的坐标为（-1，4）．
把点A（-1，4）代入中，
得，
反比例函数的表达式为．
四边形是平行四边形，证明如下：
如答图，过点作轴于点，连接．
∵A，C两点的横坐标相同，
轴．
在和中，
设，
则点的坐标为，
∵点在图象上，
，
解，得(舍）．
点的坐标为（-3，），
∵AB//CD，
，
，
，
点的坐标为（0，），
∵点的纵坐标相同，
轴，即，
又∵，
，
四边形是平行四边形．
方法或规律点拨
本题考查反比例函数与平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形判定方法和性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山西二模）探究课上，老师给出问题“一艘轮船上装有吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为吨/小时，卸完这批货物所需的时间为小时．若要求不超过小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？”．如图，小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象发现:当时，．所以小华得出此题答案为；平均每小时至少要卸货吨．小华的上述方法体现的数学思想是（ ）
A．公理化 B．数形结合 C．分类讨论 D．由特殊到一般
【答案】B
【解析】由小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象进行求解问题，符合数形结合的数学思想；
故选B．
2．（2020·山东日照·二模）如图，点A、B在双曲线y(x)＝（x＞0）上，点C在双曲线g(x)＝（x＞0）上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝4BC．则S△ABC＝（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【解析】解：∵点A、B在双曲线y（x）＝（）上，点C在反比例函数g（x）＝（）上，轴，轴，
设，则，，
∵AC＝4BC，
∴
解得，或（舍去），
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（ ）
A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
【答案】C
【解析】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OA＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠AOE+∠OEA＝90°，
∴∠OEA＝∠COF，
在△OAE和△COF中，
，
∴△OAE≌△COF（AAS），
∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，
∴A（﹣b，a），
∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，
∴D是AC的中点，
∴∴D ，
∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝ ，即a2﹣b2＝4ab，
∵B点的纵坐标为4，
∴D点纵坐标为 ，即a+b＝4，
联立方程组 ，
解得， ，或（舍去），
∴k＝ab＝2﹣2．
故选：C．
4．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，∥轴，且点C的坐标为，，．将矩形向右平移，得矩形使点，恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解： 点C的坐标为，，，
，
设点，，
点，在反比例函数的图象上，
k==，
解得，a=6,
，
故选：C．
5．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点，B在轴的正半轴上，点A坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则的值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
【答案】C
【解析】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（−4，0），D（−1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA−OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝，
∴OE＝EF−OF＝5−1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD＝5：3，则k＝（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】设D的坐标是(3m,3n),则B的坐标是(5m,5n).
∵矩形OABC的面积为，
∴5m⋅5n=，
∴mn=，
把D的坐标代入函数解析式得：3n=，
∴k=9mn=9×=12.
故选B.
7．（2019·河北宣化·初三二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
8．（2020·宁波市第七中学期末）如图，在四边形ABCD中，AC⟂BD于点E，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上．若∆ABE与∆CDE的面积之比为1：2，则∆ABC的面积为______．
【答案】3
【解析】解：由AC⊥BD，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上，可设，则有：
，
∵△ABE与△CDE的面积之比为1：2，
∴，解得：，
∴；
故答案为3．
9．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,平行四边形的顶点的坐标分别为函数的图象经过点,则的值为__________．
【答案】-36
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴AB=CO,AB//CO，
∵,
∴AB=CO=6,
∴B（-9,4）
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k=-9×4=-36，
故答案为：-36．
10．（2020·辽宁绥中·初三二模）如图，双曲线经过四边形的顶点，，，是与轴正半轴的夹角的角平分线，轴．将沿翻折后得，点落在上，则四边形的面积是______．
【答案】2
【解析】解：延长BC，交x轴于点D， 设点C（x，y），AB=a，
由翻折的性质得，BC=B′C，∠AB′C=∠ABC=90°,
∵AB∥x轴，
∴BD⊥x轴，BA⊥y轴，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OC是OA与x轴正半轴的夹角的角平分线，
由角平分线的性质可知，
∴CD=CB′，
∴BC=B′C=CD,
∴B（x，2y），
∵xy=2
∴S四边形OABC=S四边形ODBE－S△AOE－S△COD＝2xy－×2－×2＝4－1－1＝2．
故答案为：2
11．（2020·山西期中）已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【解析】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，
四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，
在反比例函数的图象上；
（3）如图示：
当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
12．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，0)，等腰直角三角形的直角顶点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把向右平移个单位长度，对应得到．当这个函数图象经过一边的中点时，求的值．
【答案】（1）；（2）1或3
【解析】（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，
图1
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，OC＝OB，
又∵B（4，0），
∴OC＝2，AC＝2．
∴A点坐标为（2，2）
把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．
∴反比例函数的解析式为；
（2）分两种情况讨论：
①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′＝，∠A′B′E＝45°，
在Rt△DEB′中，B′D＝，DE＝1，B′E＝1．
∴O′E＝3，
把y＝1代入，得x＝4，
∴OE＝4，
∴a＝OO′＝4﹣3＝1；
②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′＝，∠A′O′B′＝45°，
在Rt△FO′H中，FH＝1，O′H＝1．
把y＝1代入，得x＝4，
∴OH＝4，
∴a＝OO′＝4﹣1＝3，
综上所述，a的值为1或3．
13．（2020·山西晋中·初三月考）阅读材料
公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的．那么．退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？
在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角置于平面直角坐标系中，角的一边与的图象交于点M，在轴上，以点M为圆心，为半径画弧交的图象于点N．分别过点M和N作轴和轴的平行线，两线相交于点E，F，和相交于点G，连接得到．
此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明．下面是他的部分证明思路：
由题意，可知点M，N在反比例函数的图象上，
先假设点M，N的坐标分别为，，
则点E，F的坐标可表示为，
则直线的表达式为__________．
由此，可以判断矩形的顶点E在直线上．
…
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）用含，的代数式表示直线的表达式：__________．
（2）试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“”的证明．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】解：（1）设直线OF的解析式为：，
将点F代入得：，
∴．
（2）证明：（接小明的思路）
∵，
∴，
由作图过程可知四边形是矩形．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
即．
14．（2019·上海市市西初级中学期末）如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.
求的值；
当时，求直线的解析式；
在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
【答案】（1）k=﹣20；（2）y=﹣x；（3）点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【解析】解：（1）∵，S△POM=，S△QOM=，
∴+4=14，解得，
∵k＜0，∴k=﹣20；
（2）∵，轴，
∴，
∴MO=MQ，
设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，
把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，
∴直线OQ的解析式为y=﹣x；
（3）∵点Q（a，﹣a）在上，
∴，解得（负值舍去），
∴点Q的坐标为，则，
若为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）；
②若QO=QN，则NO=2OM=，∴点N的坐标是（，0）；
③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得，∴点N的坐标是（，0）；
综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
15．（2020·新疆初三三模）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围．
【答案】（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4
【解析】解：（1）∵点E（﹣4，）在y=上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵F（m，2）在y=上，∴m=﹣1．
（2）函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
16．（2020·辽宁省实验中学分校初三期中）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝；（3）Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）为定值，等于．
【解析】（1）∵a、b满足+（a+b+3）2＝0，
则，解得，
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则﹣＝x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴﹣＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，
所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴=．
即为定值，等于．
考点3：反比例函数的实际应用问题
典例：（2020·辽宁建平·初三期末）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子.
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、.
①求y关于x的函数表达式；
②当时，求x的取值范围；
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？
【答案】（1）①，②；（2）小凯的说法错误，洋洋的说法正确．
【解析】(1)①由题意xy=12，
②y⩾4时，，解得
所以．
(2)当时，整理得：，方程无解．
当时，整理得，符合题意；
∴小凯的说法错误，洋洋的说法正确．
方法或规律点拨
本题考查反比例函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·江苏灌云·初二月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01m3)
【答案】（1）；（2）96kPa；（3）为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【解析】解：（1）设p与V的函数关系式为p=，
将V=0.8，p=120代入上式，解得k=0.8×120=96，
所以p与V的函数关系式为p=；
（2）当V=1时，p=96，即气压是96KPa；
（3）由p=140，得v0.69，所以气球的体积应大于等于0.69m3．
2．（2019·山西期末）综合与实践
如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)、B(m，n)．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．
（1）填空：k=____________；a=_______________；
（2）利用所给函数图象，写出不等式的解集_____________；
（3）如图2，正比例函数的图象，反比例函数的图象交于点P，Q，
试说明以A，B，P，Q为顶点的四边形一定是平行四边形，但不可能是正方形；
（4）如图3，当点P在点A的左上方时，过P作直线轴于点M，过点A作直线轴于点N．交直线PM于点D．若四边形OADP的面积为6．求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析；（4）
【解析】解：（1）将A(3，2)代入中，得
解得：
将A(3，2)代入中，得
解得：
故答案为：；
（2）由点A和点B关于原点对称
∴点B的坐标为（-3，-2）
由图象可知：不等式的解集为或
故答案为：或；
（3）反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形，
所以OA=OB，OP=OQ
所以以A、B、P、Q为顶点的四边形的对角线互相平分，
所以以A、B、P、Q为顶点的四边形一定是平行四边形．
因为点A、P都在第一象限，
对角线AB，PQ不垂直，
所以以A、B、P、Q为顶点的四边形不可能是菱形，也就不可能是正方形．．
（4）设点，
由题意得四边形OMDN是矩形，
因为P，A在双曲线上
∵
∴
因为ON=3
所以OM=4，
所以点P的坐标为．
3．（2020·河南其他）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强与木板面积的对应值如下表：
木板面积
1
1.5
2
2.5
3
4
木板对地面的压强
600
400
300
240
200
150
（1）求P与S之间满足的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大?
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当压强不超过时，木板面积至少
【解析】解：（1），
；
（2）如图所示，
（3）当时，．
答：当压强不超过时，木板面积至少．
4．（2020·黑龙江虎林·期末）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围）
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
【答案】（1）,（＞）；（2）20分钟．
【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），
该函数图象经过点（0，15），（5，60），，
解得，
∴一次函数的表达式为 ，
设加热停止后反比例函数表达式为（a≠0），该函数图象经过点（5，60），即，
所以反比例函数表达式为
（2）当 y=15时，代入y=9x+15有x=0
当 y=15时，代入有x=20
20-0=20（分钟）．
答：该材料进行特殊处理所用时间为20分钟．
5．（2020·江西初三一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度（℃）与时间（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
【答案】（1）（0≤x≤9）；（9≤x≤45）；（2）可以盛到最佳温度水的同学有120人．
【解析】解：（1）设线段的函数表达式为：（0≤x≤9）
∵，在上
∴，
解得：
∴线段的函数表达式为：（0≤x≤9）
设双曲线的函数表达式为：，
将代入，得
∴
∴双曲线的函数表达式为
当y=20时，解得x=45
∴双曲线的函数表达式为（9≤x≤45）
（2）如图，依题意得：，，在上
∴，，
∴可以盛到最佳温度水的同学有：人．
6．（2019·涡阳县王元中学初三月考）你吃过拉面吗?在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x>0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请写出点P的实际意义；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）当面条的横截面积是3.2mm2时，求面条的总长度．
【答案】（1）当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；（2）；（3）40m
【解析】（1）由图象知，点P的实际意义是：
当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；
（2）设y与x的函数关系式为
∵反比例函数图象经过点（4，32）
∴
解得
∴y与x的函数关系式是；
（3）将x=3.2代入
∴
∴面条的总长度是40m．
7．（2020·合肥工业大学附属中学初三月考）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
【答案】（1）这篇文章共有1400个字；（2）y=；（3）小阳录入文字的速度至少为每分钟175个．
【解析】解：（1）由图象可知：每分钟录入140个字时，10分钟录完，
∴这篇文章共有140×10=1400（个）
答：这篇文章共有1400个字；
（2）设反比例函数表达式为y=，
将x=140，y=10代入，得
10=
解得k=1400
∴y与x的函数表达式y=；
（3）将y=8代入y=，得
解得：x=175
∵1400＞0
∴反比例函数图象在第一象限y随x的增大而减小
∴当y≤8时，x≥175
答：若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，小阳录入文字的速度至少为每分钟175个．
8．（2020·浙江萧山·初三其他）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？
【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油．
【解析】解：（1）∵耗油量×行驶里程＝50升；
∴xy＝50，
∴y＝（x＞0）；
（2）去时耗油：200×0.1＝20L，
返回时耗油：200×0.2＝40L，
20L+40L＝60L＞50L，
答：不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油．
9．（2020·湖南澧县·初三月考）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由见解析
【解析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
∴
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入，得：x=4
把y=3代入，得：x=16
∵16﹣4=12
∴这次消毒是有效的．
故答案为（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由如上．
10．（2019·河南初三专题练习）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【解析】
分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
详解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20
∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
11．（2020·贵州江口·初三期末）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；
（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？
【答案】（1）y=9x+15；（2）y=；（3）15分钟
【解析】（1）设加热时y=kx+b（k≠0），停止加热后y=a/x（a≠0），把b=15,(5,60)代入求解
（2）把y=15代入反比例函数求得
12．（2020·河南洛宁·初二期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范为________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为________．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)y=x；(0≤x≤8)；y=(x＞8)；(2)30；(3)有效，理由见解析.
【解析】(1) 当0≤x≤8时，设y=kx,把（8,6）代入得
6=8k,
∴k=
∴y= x(0≤x≤8)；
当x＞8时，设y=,把（8,6）代入得
设6=,
∴m=48,
∴y= (x＞8)
(2)当y=1.6时，
=1.6，
解之得
x=30,
结合图像知，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室；
(3)把y=3代入y= x，得：x=4
把y=3代入y= ，得：x=16
∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的
13．（2018·福建南安·初二期中）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：.版权所有
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当≥80时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？
【答案】（1） ；（2）2.0125（或）（小时）
【解析】（1）由题意，得
①当时，
设函数关系式为：，
则，解得，
故，
②当时，
设函数关系式为：，
则，解得 ，
故
综上所述：
（2）当时， 解得（或）
当时， 解得（或 ）
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间（或
）（小时）
14．（2020·安徽安庆·初三月考）小芳从家骑自行车去学校，所需时间()与骑车速度()之间的反比例函数关系如图．
(1)小芳家与学校之间的距离是多少？
(2)写出与的函数表达式；
(3)若小芳点分从家出发，预计到校时间不超过点分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？
【答案】(1)1400；(2)；(3)小芳的骑车速度至少为．
【解析】(1)小芳家与学校之间的距离是：()；
(2)设，当时，，
解得：，
故与的函数表达式为：；
(3)当时，，
，在第一象限内随的增大而减小，
小芳的骑车速度至少为．
考点4：反比例函数与二次函数的综合问题
典例：（2020·河北初三专题练习）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.
【答案】（1），；（2）7m；（3）.
【解析】解：（1）∵，点B到y轴的距离是5，
∴点B的坐标为.
设反比例函数的关系式为，
则，解得.
∴反比例函数的关系式为.
∵当时， ，即点A的坐标为，
∴自变量x的取值范围为；
（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为，点C坐标为.
设二次函数的关系式为，则，解得.
∴二次函数的关系式为.
当时，解得（舍去），
∴点D的坐标为，则.
∴整条滑道的水平距离为：；
（3）p的取值范围为.
由题意可知，点N坐标为（，即，为抛物线的顶点.
设水流所成抛物线的表达式为.
当水流落在点时，由，解得；
当水流落在点时，由，解得.
∴p的取值范围为.
方法或规律点拨
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．
巩固练习
1．（2018·洛阳市洛龙区龙城双语初级中学月考）如图，已知函数 与的图象交于点，点的纵坐标为１，则关于的方程的解为_____________．
【答案】
【解析】当反比例函数和二次函数交与点p且点p的纵坐标是1，所以点p的横坐标是-3，通过两个图形的交叉分析可以得出，两个函数只有在第二象限时有交点，故此方程的解是x=-3
2．（2020·湖南天心·长郡中学初三期中）如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴-＞0，
∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选A.
3．（2020·浙江高照实验学校初三月考）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.
故选D
4．（2020·石家庄外国语教育集团初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数和反比例函数的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据整点的定义，在反比例函数与坐标轴围成的范围内的整点有：、、、、，
∴二次函数与反比例函数围成的封闭图形内有4个整点的情况只有两种，
①整点是、、、，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
∵与矛盾，∴这种情况不成立；
②整点是、、、，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
∴．
故选：B．
5．（2020·广西平桂·初三期中）函数与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、由二次函数开口方向，得a＜0．当a＜0时，反比例函数图象在二、四象限，故A错误；
B、由二次函数图象开口方向，得a＞0．当a＞0时，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，故B错误；
C、由二次函数图象开口方向，得a＜0．当a＜0时，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，故C错误；
D、由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点在x轴的上方，得a＜0，反比例函数的图象应在二、四象限，故D正确．
故选D．
6．（2020·湖南茶陵·初三期末）反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y轴交于负半轴，故此选项错误；
B、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；
C、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项正确；
D、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误；
故选Ｃ．
7．（2020·山东五莲·初三期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在二四象限，
故选C．
8．（2018·全国初三课时练习）如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）
A．甲 乙
B．甲 丙
C．乙 丙
D．丙 丁
【答案】B
【解析】甲：直线与x轴交点为（3，0），与y轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为×3×4=6；
乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为×4×2=4；
丙：抛物线与x轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为×6×2=6；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为×6=3；
因此甲、丙的面积相等，
故选B．
9．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
10．（2019·福建省漳州市第一中学初三）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当时，，无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
故选D．
11．（2020·广东珠海·紫荆中学初三其他）反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大
∴a＜0
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为＞0；
故答案为C．
12．（2020·新疆初三其他）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数图象在第一、三象限，
∴只有D选项的图像符合题意；
故选：D．
13．（2019·福建初三其他）如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1与y2交于点A(4，yA)，则下列命题中，假命题是( )
A．当x＞4时， B．当时，
C．当时，0＜x＜4 D．当时，x＜0
【答案】D
【解析】由函数图象可知，当x＞4时，y1＞y2，A是真命题；
当x＜-1时，y1＞y2，C是真命题；
当y1＜y2时，0＜x＜4，C是真命题；
y1＞y2时，x＜0或x＞4，D是假命题；
故选D．
14．（2020·江西金溪一中初三一模）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】∵函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故选B．
专题26.2 实际问题与反比例函数
典例体系（本专题共63题65页）
一、知识点
反比例函数的一般步骤
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
二、考点点拨与训练
考点1：一次函数与反比例函数的综合应用
典例：（2020·江苏盐城·初二期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求这两个函数的表达式
（2）请结合图像直接写出不等式的解集
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标
方法或规律点拨
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键y.com
巩固练习
1．（2020·宁波市第七中学期末）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）】
A． B．C． D．
2．（2020·山西初二月考）如图，一次函数与反比例函数分别交于两点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2019·山西期末）如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
4．（2020·黑龙江虎林·期末）如图,反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为________________．
5．（2020·江苏盐城·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于、两点，过点作轴的垂线，交函数的图像于点，连接，则的面积为 _________．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）已知平面直角坐标系中，点，若直线与双曲线交于点，与轴交于点 ．探究：由双曲线与线段、、 围成的区域内（不含边界） 整点的个数． （点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）
①当时，如图，区域 内的整点的个数为__________个．
②当 时，若区域内恰好有个整点，则的取值范围是__________．
7．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．
8．（2020·河南一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与轴交于，与轴交于，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式：的解集；
（3）是轴上一动点，直接写出叫的最大值和此时点的坐标．
9．（2020·兰州市第四十九中学二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
10．（2020·湖南永定·期中）如图，已知A（−4，2），B（n，−4）是一次函数的图象与反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）
11．（2020·宁波市第七中学期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第二象限内，点C在x轴的负半轴上，且AC=AO，∆ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）求点A，点B的坐标；
（3）根据图象，当>时，请直接写出x的取值范围．
12．（2020·河北初三其他）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，3），（3，2），（﹣2，﹣），其中两点同时在反比例函数y＝的图象上，将两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AB对应的一次函数的解析式；
（3）连接AC、BC，求△ABC的面积．
13．（2020·山西尧都·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，的面积是3，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；
（2）求的面积．
14．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点与轴相交于点,且,直线的反比例函数的图象交于。两点,点的纵坐标为,连接．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察图象,直接写出的解集．
15．（2020·河北月考）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即；由周长为m，得2（x+y）=m，即y=-x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数（x＞0）的图象如图所示，而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x．
（3）平移直线y=-x，观察函数图象
在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
考点2：反比例函数与几何图形的综合问题
典例：（2020·山西二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为（-4,0）（-1,0）．点的纵坐标为，边与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，猜想四边形是什么特殊四边形，并加以证明．
方法或规律点拨
本题考查反比例函数与平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形判定方法和性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山西二模）探究课上，老师给出问题“一艘轮船上装有吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为吨/小时，卸完这批货物所需的时间为小时．若要求不超过小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？”．如图，小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象发现:当时，．所以小华得出此题答案为；平均每小时至少要卸货吨．小华的上述方法体现的数学思想是（ ）
A．公理化 B．数形结合 C．分类讨论 D．由特殊到一般
2．（2020·山东日照·二模）如图，点A、B在双曲线y(x)＝（x＞0）上，点C在双曲线g(x)＝（x＞0）上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝4BC．则S△ABC＝（ ）
A． B． C．9 D．
3．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（ ）
A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
4．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，∥轴，且点C的坐标为，，．将矩形向右平移，得矩形使点，恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点，B在轴的正半轴上，点A坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则的值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD＝5：3，则k＝（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
7．（2019·河北宣化·初三二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·宁波市第七中学期末）如图，在四边形ABCD中，AC⟂BD于点E，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上．若∆ABE与∆CDE的面积之比为1：2，则∆ABC的面积为______．
9．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,平行四边形的顶点的坐标分别为函数的图象经过点,则的值为__________．.版权所有
10． （2020·辽宁绥中·初三二模）如图，双曲线经过四边形的顶点，，，是与轴正半轴的夹角的角平分线，轴．将沿翻折后得，点落在上，则四边形的面积是______．
11．
11．（2020·山西期中）已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，0)，等腰直角三角形的直角顶点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把向右平移个单位长度，对应得到．当这个函数图象经过一边的中点时，求的值．
13．（2020·山西晋中·初三月考）阅读材料
公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的．那么．退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？
在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角置于平面直角坐标系中，角的一边与的图象交于点M，在轴上，以点M为圆心，为半径画弧交的图象于点N．分别过点M和N作轴和轴的平行线，两线相交于点E，F，和相交于点G，连接得到．
此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明．下面是他的部分证明思路：
由题意，可知点M，N在反比例函数的图象上，
先假设点M，N的坐标分别为，，
则点E，F的坐标可表示为，
则直线的表达式为__________．
由此，可以判断矩形的顶点E在直线上．
…
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）用含，的代数式表示直线的表达式：__________．
（2）试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“”的证明．
14．（2019·上海市市西初级中学期末）如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.
求的值；
当时，求直线的解析式；
在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
15．（2020·新疆初三三模）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围．
16．（2020·辽宁省实验中学分校初三期中）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
考点3：反比例函数的实际应用问题
典例：（2020·辽宁建平·初三期末）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子.
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、.
①求y关于x的函数表达式；
②当时，求x的取值范围；
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？
方法或规律点拨
本题考查反比例函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·江苏灌云·初二月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01m3)
2．（2019·山西期末）综合与实践
如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)、B(m，n)．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．
（1）填空：k=____________；a=_______________；
（2）利用所给函数图象，写出不等式的解集_____________；
（3）如图2，正比例函数的图象，反比例函数的图象交于点P，Q，
试说明以A，B，P，Q为顶点的四边形一定是平行四边形，但不可能是正方形；
（4）如图3，当点P在点A的左上方时，过P作直线轴于点M，过点A作直线轴于点N．交直线PM于点D．若四边形OADP的面积为6．求点P的坐标．
3．（2020·河南其他）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强与木板面积的对应值如下表：
木板面积
1
1.5
2
2.5
3
4
木板对地面的压强
600
400
300
240
200
150
（1）求P与S之间满足的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大?
4．（2020·黑龙江虎林·期末）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围）
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
5．（2020·江西初三一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度（℃）与时间（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
6．（2019·涡阳县王元中学初三月考）你吃过拉面吗?在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x>0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请写出点P的实际意义；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）当面条的横截面积是3.2mm2时，求面条的总长度．
7．（2020·合肥工业大学附属中学初三月考）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
8．（2020·浙江萧山·初三其他）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？
9．（2020·湖南澧县·初三月考）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
10．（2019·河南初三专题练习）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
11．（2020·贵州江口·初三期末）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；
（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？
12．（2020·河南洛宁·初二期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范为________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为________．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
13．（2018·福建南安·初二期中）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当≥80时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？
14．（2020·安徽安庆·初三月考）小芳从家骑自行车去学校，所需时间()与骑车速度()之间的反比例函数关系如图．
(1)小芳家与学校之间的距离是多少？
(2)写出与的函数表达式；
(3)若小芳点分从家出发，预计到校时间不超过点分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？
考点4：反比例函数与二次函数的综合问题
典例：（2020·河北初三专题练习）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.
方法或规律点拨
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．
巩固练习
1．（2018·洛阳市洛龙区龙城双语初级中学月考）如图，已知函数 与的图象交于点，点的纵坐标为１，则关于的方程的解为_____________．
2．（2020·湖南天心·长郡中学初三期中）如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江高照实验学校初三月考）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
4．（2020·石家庄外国语教育集团初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数和反比例函数的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广西平桂·初三期中）函数与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）．
A． B． C． D．
6．（2020·湖南茶陵·初三期末）反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·山东五莲·初三期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是
A． B． C． D．
8．（2018·全国初三课时练习）如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）
A．甲 乙
B．甲 丙
C．乙 丙
D．丙 丁
9．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·福建省漳州市第一中学初三）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A． B． C． D．
11．（2020·广东珠海·紫荆中学初三其他）反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的( )
A． B．
C． D．
12．（2020·新疆初三其他）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
13．（2019·福建初三其他）如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1与y2交于点A(4，yA)，则下列命题中，假命题是( )
A．当x＞4时， B．当时，
C．当时，0＜x＜4 D．当时，x＜0
14．（2020·江西金溪一中初三一模）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
专题26.2 实际问题与反比例函数
典例体系（本专题共63题65页）
一、知识点
反比例函数的一般步骤
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
二、考点点拨与训练
考点1：一次函数与反比例函数的综合应用
典例：（2020·江苏盐城·初二期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求这两个函数的表达式
（2）请结合图像直接写出不等式的解集
（3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标
【答案】（1）反比例函数：y=；一次函数：y=-x+5；（2）0＜x≤1或x≥4；（3）（1，0）或（9，0）．
【解析】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
把B（4，n）代入y=，
得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图象得：当或时，；
∴不等式的解集为或；
（3）如图，设直线与轴交于点，
∵直线与轴交于点，
∴点坐标为，
的面积为6，
∴
，
∴点的坐标为或．
方法或规律点拨
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键
巩固练习
1．（2020·宁波市第七中学期末）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】A、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象经过二、三、四象限，则k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
B、反比例函数图象在第一、三象限，则k＞0，一次函数图象与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值不同，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、三象限，则k＞0， k的取值不同，故此选项错误；
D、反比例函数图象在第二、四象限，则k＜0，一次函数图象经过一、二、四象限，则k＜0，与y轴交于正半轴，则-k＞0，即k＜0，k的取值相同，故此选项正确；
故选：D．
2．（2020·山西初二月考）如图，一次函数与反比例函数分别交于两点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】解：观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是或．
故选：C．
3．（2019·山西期末）如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．
【答案】8
【解析】∵函数y=-x与函数y=-的图象相交于A，B两点，
∴,解得，,或，
∴点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（2，-2），
∵A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴AC=BD=2，AC∥BD，CD=4，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∴四边形ACBD的面积是2×4=8．
4．（2020·黑龙江虎林·期末）如图,反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点,过点A作AC⊥x轴于点C．若的面积是4，则这个反比例函数的解析式为________________．
【答案】
【解析】作BD⊥x轴于D，
由对称性知，OA=OB，
∵∠AOC=∠BOD，AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠OCA=∠ODB=90º，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，
S△AOC=S△BOC =S△ABC=2，
设A（x,y）点A在第一象限，x>0，y>0，
∴OC=x，AC=y，
∴S△AOC=OC•AC=xy=2，
∴xy=4=k，
∴y=．
故答案为：y=．
5．（2020·江苏盐城·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于、两点，过点作轴的垂线，交函数的图像于点，连接，则的面积为 _________．
【答案】3
【解析】解：如图，连接OC设AC交y轴于E．
∵AC⊥y轴于E，
∴S△AOE=×2=1，S△OEC=×1=，
∴S△AOC=，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△ABC=2S△AOC=3，
故答案为：3．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）已知平面直角坐标系中，点，若直线与双曲线交于点，与轴交于点 ．探究：由双曲线与线段、、 围成的区域内（不含边界） 整点的个数． （点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）
①当时，如图，区域 内的整点的个数为__________个．
②当 时，若区域内恰好有个整点，则的取值范围是__________．
【答案】 或＜b≤．
【解析】解：∵A（4，1），
∴直线OA为y=x，
∵直线y1=x+b
∴直线y1与OA平行，
①当b=-1时，直线解析式为y1=x-1，
解方程得x1=2-2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），
而C（0，-1），
∴区域M内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个，
故答案为3；
②直线y1在OA的下方时，当直线y1=x+b过（1，-1）时，b=-，
且经过（5，0），
∴区域M内恰有4个整点，b的取值范围是-≤b＜-1．
直线l在OA的上方时，
∵点（2，2）在函数y2=（x＞0）的图象上，
当直线y1=x+b过（1，2）时，b=，
当直线y1=x+b过（1，3）时，b=，
∴区域M内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．
综上所述，区域M内恰有4个整点，b的取值范围是或＜b≤．
故答案为或＜b≤．
7．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．
【答案】（1）y1=-2x+10，；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）15．
【解析】解（1）把点B（4，2）代入反比例函数得，k2=4×2=8
∴反比例函数的解析式为
将点A（m，8）代，解得m=1
∴A（1，8）
将A、B的坐标代入，得
，解得
∴一次函数的解析式为y1=-2x+10；
（2）如图；∵A（1，8），B（4，2）
∴，即的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图：连接AO、BO
∵y1=-2x+10
∴C（0,10），D（5，0），即OD=10,OC=5
∴S△ACD= , S△AOC= S△BOD=
∴S△AOB=S△ACD-S△AOC-S△BOD=25-5-5=15．
8．（2020·河南一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与轴交于，与轴交于，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式：的解集；
（3）是轴上一动点，直接写出叫的最大值和此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）的最大值为，此时P点坐标为
【解析】（1）过作轴于，
∴轴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即：，
将代入得：，
∴直线的解析式为：
把代入得：
把代入得：，
∴
故答案为：，
（2）由图象可知当时，
故答案为：
（3）作点关于轴的对称点，的延长线于轴的交点即为所求点
∵
∴
∵
设直线的解析式为y=kx+b
∴
解得
∴直线的解析式为y=2x+6
当x=0时，y=6
∴
的最大值为
故答案为：的最大值为，此时P点坐标为
9．（2020·兰州市第四十九中学二模）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；（2）
【解析】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝；
（2）由，解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝．
10．（2020·湖南永定·期中）如图，已知A（−4，2），B（n，−4）是一次函数的图象与反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．
【答案】（1）；；（2）C（－2，0）；6；（3）0＜x＜2或x＜－4．
【解析】（1）∵A（－4，2）在上，
∴m=－8．
∴反比例函数的解析式为．
∵B（n，﹣4）在上， ∴n=2． ∴B（2，－4）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
，解得
∴一次函数的解析式为．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=－2．∴点C（－2，0）．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=
（3）不等式的解集为0＜x＜2或x＜－4．
11．（2020·宁波市第七中学期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第二象限内，点C在x轴的负半轴上，且AC=AO，∆ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）求点A，点B的坐标；
（3）根据图象，当>时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示：
∵AC=AO，
∴DO=CD，
设点，则有OD=-a，AD=-3a，OC=-2a，
∵△ACO的面积为12，
∴，即，
把点代入反比例函数解析式得：
，解得：；
（2）由（1）可得：，
联立正比例函数及反比例函数解析式得：
，解得：，
把代入正比例函数得：，
∴；
（3）由（2）及图像可得：当>时，x的取值范围为：
或．
12．（2020·河北初三其他）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，3），（3，2），（﹣2，﹣），其中两点同时在反比例函数y＝的图象上，将两点分别记为A，B，另一点记为C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AB对应的一次函数的解析式；
（3）连接AC、BC，求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝；（2）y＝x+；（3）S△ABC＝6．
【解析】（1）∵反比例函数y＝的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，
∴1×3＝（﹣2）×（）＝3≠3×2，
∴点（1，3），（﹣2，），在同一反比例函数的图象上，且k＝3；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
（3）S△ABC＝5×4.5﹣×2×1﹣×3.5×5﹣×3×4.5＝6．
13．（2020·山西尧都·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，的面积是3，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1），；（2）1
【解析】解：（1）∵轴，点，
∴点，，
∵点，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的函数表达式为，
将，代入，
得，解得，
∴一次函数的函数表达式为；
（2）当时，，
∴点，
∴，
∴．
14．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点与轴相交于点,且,直线的反比例函数的图象交于。两点,点的纵坐标为,连接．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察图象,直接写出的解集．
【答案】（1）直线的表达式为；反比例函数的表达式为；（2）；（3）或
【解析】解：（1）∵
∴OB=1
即点B的坐标为（0,1）
将点A、B的坐标代入中，得
解得：
∴直线的表达式为
将y=2代入中，解得：x=-2
∴点D的坐标为（-2，2）
将点D的坐标代入中，得
解得：m=-4
∴反比例函数的表达式为；
（2）联立
解得：或（符合点D坐标）
∴点C的坐标为（4，-1）
过点D作DE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F
∴DE=2，CF=1，OA=2
∴；
（3）由图象可知：的解集为x＜-2或0＜x＜4．
15．（2020·河北月考）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即；由周长为m，得2（x+y）=m，即y=-x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数（x＞0）的图象如图所示，而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x．
（3）平移直线y=-x，观察函数图象
在直线平移过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 ．
【答案】（1）一．（2）见解析；（3）交点个数有：0个、1个、2个三种情况，0个交点时，m＜8；1个交点时，m=8； 2个交点时，m＞8；（4）m≥8
【解析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
故答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y=和y=-x+并整理得：x2-mx+4=0，
∵△=m2-4×4，
∴0个交点时，m＜8；1个交点时，m=8； 2个交点时，m＞8；
（4）由（3）得：m≥8，
故答案为：m≥8．
考点2：反比例函数与几何图形的综合问题
典例：（2020·山西二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为（-4,0）（-1,0）．点的纵坐标为，边与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，猜想四边形是什么特殊四边形，并加以证明．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）四边形是平行四边形，证明见详解．
【解析】解:∵点的纵坐标为，
将代入中，得．
点坐标为（2，4）．
∵B，C两点的坐标分别为（-4，0），（-1，0），
，
∵四边形是平行四边形，
．
点的横坐标为，
点的坐标为（-1，4）．
把点A（-1，4）代入中，
得，
反比例函数的表达式为．
四边形是平行四边形，证明如下：
如答图，过点作轴于点，连接．
∵A，C两点的横坐标相同，
轴．
在和中，
设，
则点的坐标为，
∵点在图象上，
，
解，得(舍）．
点的坐标为（-3，），
∵AB//CD，
，
，
，
点的坐标为（0，），
∵点的纵坐标相同，
轴，即，
又∵，
，
四边形是平行四边形．
方法或规律点拨
本题考查反比例函数与平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形判定方法和性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山西二模）探究课上，老师给出问题“一艘轮船上装有吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为吨/小时，卸完这批货物所需的时间为小时．若要求不超过小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？”．如图，小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象发现:当时，．所以小华得出此题答案为；平均每小时至少要卸货吨．小华的上述方法体现的数学思想是（ ）
A．公理化 B．数形结合 C．分类讨论 D．由特殊到一般
【答案】B
【解析】由小华利用计算机先绘制出反比例函数的图象，并通过观察图象进行求解问题，符合数形结合的数学思想；
故选B．
2．（2020·山东日照·二模）如图，点A、B在双曲线y(x)＝（x＞0）上，点C在双曲线g(x)＝（x＞0）上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝4BC．则S△ABC＝（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【解析】解：∵点A、B在双曲线y（x）＝（）上，点C在反比例函数g（x）＝（）上，轴，轴，
设，则，，
∵AC＝4BC，
∴
解得，或（舍去），
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（ ）
A．1+ B．3﹣ C．2﹣2 D．2+2
【答案】C
【解析】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OA＝CO，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠AOE+∠OEA＝90°，
∴∠OEA＝∠COF，
在△OAE和△COF中，
，
∴△OAE≌△COF（AAS），
∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，
∴A（﹣b，a），
∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，
∴D是AC的中点，
∴∴D ，
∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ab＝ ，即a2﹣b2＝4ab，
∵B点的纵坐标为4，
∴D点纵坐标为 ，即a+b＝4，
联立方程组 ，
解得， ，或（舍去），
∴k＝ab＝2﹣2．
故选：C．
4．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，∥轴，且点C的坐标为，，．将矩形向右平移，得矩形使点，恰好同时落在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解： 点C的坐标为，，，
，
设点，，
点，在反比例函数的图象上，
k==，
解得，a=6,
，
故选：C．
5．（2020·山西侯马五中初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点，B在轴的正半轴上，点A坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则的值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．20
【答案】C
【解析】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（−4，0），D（−1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA−OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝，
∴OE＝EF−OF＝5−1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD＝5：3，则k＝（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】设D的坐标是(3m,3n),则B的坐标是(5m,5n).
∵矩形OABC的面积为，
∴5m⋅5n=，
∴mn=，
把D的坐标代入函数解析式得：3n=，
∴k=9mn=9×=12.
故选B.
7．（2019·河北宣化·初三二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
8．（2020·宁波市第七中学期末）如图，在四边形ABCD中，AC⟂BD于点E，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上．若∆ABE与∆CDE的面积之比为1：2，则∆ABC的面积为______．
【答案】3
【解析】解：由AC⊥BD，BD∥x轴，点A，点D在函数（x>0）的图象上，可设，则有：
，
∵△ABE与△CDE的面积之比为1：2，
∴，解得：，
∴；
故答案为3．
9．（2020·山西襄汾·初二期中）如图,平行四边形的顶点的坐标分别为函数的图象经过点,则的值为__________．
【答案】-36
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴AB=CO,AB//CO，
∵,
∴AB=CO=6,
∴B（-9,4）
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k=-9×4=-36，
故答案为：-36．
10．（2020·辽宁绥中·初三二模）如图，双曲线经过四边形的顶点，，，是与轴正半轴的夹角的角平分线，轴．将沿翻折后得，点落在上，则四边形的面积是______．
【答案】2
【解析】解：延长BC，交x轴于点D， 设点C（x，y），AB=a，
由翻折的性质得，BC=B′C，∠AB′C=∠ABC=90°,
∵AB∥x轴，
∴BD⊥x轴，BA⊥y轴，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OC是OA与x轴正半轴的夹角的角平分线，
由角平分线的性质可知，
∴CD=CB′，
∴BC=B′C=CD,
∴B（x，2y），
∵xy=2
∴S四边形OABC=S四边形ODBE－S△AOE－S△COD＝2xy－×2－×2＝4－1－1＝2．
故答案为：2
11．（2020·山西期中）已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，
【解析】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，
四边形为平行四边形，则，，
，，
故点，故，
则反比例函数表达式为：；
（2）翻折后点的坐标为：，
，
在反比例函数的图象上；
（3）如图示：
当时，点，；
当时，点；
当时，设点，
则，解得：；
综上，点的坐标为：，或或．
12．（2020·合肥包河大地中学月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4，0)，等腰直角三角形的直角顶点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把向右平移个单位长度，对应得到．当这个函数图象经过一边的中点时，求的值．
【答案】（1）；（2）1或3
【解析】（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，
图1
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，OC＝OB，
又∵B（4，0），
∴OC＝2，AC＝2．
∴A点坐标为（2，2）
把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．
∴反比例函数的解析式为；
（2）分两种情况讨论：
①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′＝，∠A′B′E＝45°，
在Rt△DEB′中，B′D＝，DE＝1，B′E＝1．
∴O′E＝3，
把y＝1代入，得x＝4，
∴OE＝4，
∴a＝OO′＝4﹣3＝1；
②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′＝，∠A′O′B′＝45°，
在Rt△FO′H中，FH＝1，O′H＝1．
把y＝1代入，得x＝4，
∴OH＝4，
∴a＝OO′＝4﹣1＝3，
综上所述，a的值为1或3．
13．（2020·山西晋中·初三月考）阅读材料
公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的．那么．退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？
在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角置于平面直角坐标系中，角的一边与的图象交于点M，在轴上，以点M为圆心，为半径画弧交的图象于点N．分别过点M和N作轴和轴的平行线，两线相交于点E，F，和相交于点G，连接得到．
此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明．下面是他的部分证明思路：
由题意，可知点M，N在反比例函数的图象上，
先假设点M，N的坐标分别为，，
则点E，F的坐标可表示为，
则直线的表达式为__________．
由此，可以判断矩形的顶点E在直线上．
…
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）用含，的代数式表示直线的表达式：__________．
（2）试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“”的证明．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】解：（1）设直线OF的解析式为：，
将点F代入得：，
∴．
（2）证明：（接小明的思路）
∵，
∴，
由作图过程可知四边形是矩形．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
即．
14．（2019·上海市市西初级中学期末）如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.
求的值；
当时，求直线的解析式；
在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
【答案】（1）k=﹣20；（2）y=﹣x；（3）点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【解析】解：（1）∵，S△POM=，S△QOM=，
∴+4=14，解得，
∵k＜0，∴k=﹣20；
（2）∵，轴，
∴，
∴MO=MQ，
设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，
把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，
∴直线OQ的解析式为y=﹣x；
（3）∵点Q（a，﹣a）在上，
∴，解得（负值舍去），
∴点Q的坐标为，则，
若为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）；
②若QO=QN，则NO=2OM=，∴点N的坐标是（，0）；
③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得，∴点N的坐标是（，0）；
综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
15．（2020·新疆初三三模）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围．
【答案】（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4
【解析】解：（1）∵点E（﹣4，）在y=上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵F（m，2）在y=上，∴m=﹣1．
（2）函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
16．（2020·辽宁省实验中学分校初三期中）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝上经过C、D两点．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
【答案】（1）﹣1；﹣2；（2）y＝；（3）Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）为定值，等于．
【解析】（1）∵a、b满足+（a+b+3）2＝0，
则，解得，
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4．
∴t＝4．
∴D（1，4），
∵D（1，4）在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝1×4＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝；
（3）∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则﹣＝x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴﹣＝，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；
（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，
所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN＝HT，
∴=．
即为定值，等于．
考点3：反比例函数的实际应用问题
典例：（2020·辽宁建平·初三期末）某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子.
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、.
①求y关于x的函数表达式；
②当时，求x的取值范围；
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m，洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗？为什么？
【答案】（1）①，②；（2）小凯的说法错误，洋洋的说法正确．
【解析】(1)①由题意xy=12，
②y⩾4时，，解得
所以．
(2)当时，整理得：，方程无解．
当时，整理得，符合题意；
∴小凯的说法错误，洋洋的说法正确．
方法或规律点拨
本题考查反比例函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·江苏灌云·初二月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01m3)
【答案】（1）；（2）96kPa；（3）为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【解析】解：（1）设p与V的函数关系式为p=，
将V=0.8，p=120代入上式，解得k=0.8×120=96，
所以p与V的函数关系式为p=；
（2）当V=1时，p=96，即气压是96KPa；
（3）由p=140，得v0.69，所以气球的体积应大于等于0.69m3．
2．（2019·山西期末）综合与实践
如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)、B(m，n)．我们可以发现：反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形．
（1）填空：k=____________；a=_______________；
（2）利用所给函数图象，写出不等式的解集_____________；
（3）如图2，正比例函数的图象，反比例函数的图象交于点P，Q，
试说明以A，B，P，Q为顶点的四边形一定是平行四边形，但不可能是正方形；
（4）如图3，当点P在点A的左上方时，过P作直线轴于点M，过点A作直线轴于点N．交直线PM于点D．若四边形OADP的面积为6．求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析；（4）
【解析】解：（1）将A(3，2)代入中，得
解得：
将A(3，2)代入中，得
解得：
故答案为：；
（2）由点A和点B关于原点对称
∴点B的坐标为（-3，-2）
由图象可知：不等式的解集为或
故答案为：或；
（3）反比例函数的图象是一个关于原点中心对称的图形，
所以OA=OB，OP=OQ
所以以A、B、P、Q为顶点的四边形的对角线互相平分，
所以以A、B、P、Q为顶点的四边形一定是平行四边形．
因为点A、P都在第一象限，
对角线AB，PQ不垂直，
所以以A、B、P、Q为顶点的四边形不可能是菱形，也就不可能是正方形．．
（4）设点，
由题意得四边形OMDN是矩形，
因为P，A在双曲线上
∵
∴
因为ON=3
所以OM=4，
所以点P的坐标为．
3．（2020·河南其他）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片湿地，为了人员和设备能够安全迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块大小不同的木板，构筑成一条临时通道．根据学习函数的经验，该小组对木板对地面的压强与木板的面积之间的关系进行探究．已知当压力不变时，木板对地面的压强与木板面积的对应值如下表：
木板面积
1
1.5
2
2.5
3
4
木板对地面的压强
600
400
300
240
200
150
（1）求P与S之间满足的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大?
【答案】（1）；（2）见解析；（3）当压强不超过时，木板面积至少
【解析】解：（1），
；
（2）如图所示，
（3）当时，．
答：当压强不超过时，木板面积至少．
4．（2020·黑龙江虎林·期末）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围）
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
【答案】（1）,（＞）；（2）20分钟．
【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），
该函数图象经过点（0，15），（5，60），，
解得，
∴一次函数的表达式为 ，
设加热停止后反比例函数表达式为（a≠0），该函数图象经过点（5，60），即，
所以反比例函数表达式为
（2）当 y=15时，代入y=9x+15有x=0
当 y=15时，代入有x=20
20-0=20（分钟）．
答：该材料进行特殊处理所用时间为20分钟．
5．（2020·江西初三一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度（℃）与时间（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃~45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
【答案】（1）（0≤x≤9）；（9≤x≤45）；（2）可以盛到最佳温度水的同学有120人．
【解析】解：（1）设线段的函数表达式为：（0≤x≤9）
∵，在上
∴，
解得：
∴线段的函数表达式为：（0≤x≤9）
设双曲线的函数表达式为：，
将代入，得
∴
∴双曲线的函数表达式为
当y=20时，解得x=45
∴双曲线的函数表达式为（9≤x≤45）
（2）如图，依题意得：，，在上
∴，，
∴可以盛到最佳温度水的同学有：人．
6．（2019·涡阳县王元中学初三月考）你吃过拉面吗?在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x>0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请写出点P的实际意义；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）当面条的横截面积是3.2mm2时，求面条的总长度．
【答案】（1）当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；（2）；（3）40m
【解析】（1）由图象知，点P的实际意义是：
当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；
（2）设y与x的函数关系式为
∵反比例函数图象经过点（4，32）
∴
解得
∴y与x的函数关系式是；
（3）将x=3.2代入
∴
∴面条的总长度是40m．
7．（2020·合肥工业大学附属中学初三月考）小阳要把一篇文章录入电脑，所需时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的反比例函数关系如图．
（1）这篇文章共有多少个字？
（2）写出y与x的函数表达式；
（3）若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，请你用函数的性质说明小阳录入文字的速度至少为多少？
【答案】（1）这篇文章共有1400个字；（2）y=；（3）小阳录入文字的速度至少为每分钟175个．
【解析】解：（1）由图象可知：每分钟录入140个字时，10分钟录完，
∴这篇文章共有140×10=1400（个）
答：这篇文章共有1400个字；
（2）设反比例函数表达式为y=，
将x=140，y=10代入，得
10=
解得k=1400
∴y与x的函数表达式y=；
（3）将y=8代入y=，得
解得：x=175
∵1400＞0
∴反比例函数图象在第一象限y随x的增大而减小
∴当y≤8时，x≥175
答：若小阳7点20分开始录入，预计完成时间不超过7点28分，小阳录入文字的速度至少为每分钟175个．
8．（2020·浙江萧山·初三其他）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？
【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油．
【解析】解：（1）∵耗油量×行驶里程＝50升；
∴xy＝50，
∴y＝（x＞0）；
（2）去时耗油：200×0.1＝20L，
返回时耗油：200×0.2＝40L，
20L+40L＝60L＞50L，
答：不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油．
9．（2020·湖南澧县·初三月考）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由见解析
【解析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
∴
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入，得：x=4
把y=3代入，得：x=16
∵16﹣4=12
∴这次消毒是有效的．
故答案为（1）；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由如上．
10．（2019·河南初三专题练习）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【解析】
分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
详解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得
∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20
∴20-10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
11．（2020·贵州江口·初三期末）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；
（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？
【答案】（1）y=9x+15；（2）y=；（3）15分钟
【解析】（1）设加热时y=kx+b（k≠0），停止加热后y=a/x（a≠0），把b=15,(5,60)代入求解
（2）把y=15代入反比例函数求得
12．（2020·河南洛宁·初二期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范为________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为________．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)y=x；(0≤x≤8)；y=(x＞8)；(2)30；(3)有效，理由见解析.
【解析】(1) 当0≤x≤8时，设y=kx,把（8,6）代入得
6=8k,
∴k=
∴y= x(0≤x≤8)；
当x＞8时，设y=,把（8,6）代入得
设6=,
∴m=48,
∴y= (x＞8)
(2)当y=1.6时，
=1.6，
解之得
x=30,
结合图像知，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室；
(3)把y=3代入y= x，得：x=4
把y=3代入y= ，得：x=16
∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的
13．（2018·福建南安·初二期中）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：.版权所有
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当≥80时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？
【答案】（1） ；（2）2.0125（或）（小时）
【解析】（1）由题意，得
①当时，
设函数关系式为：，
则，解得，
故，
②当时，
设函数关系式为：，
则，解得 ，
故
综上所述：
（2）当时， 解得（或）
当时， 解得（或 ）
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间（或
）（小时）
14．（2020·安徽安庆·初三月考）小芳从家骑自行车去学校，所需时间()与骑车速度()之间的反比例函数关系如图．
(1)小芳家与学校之间的距离是多少？
(2)写出与的函数表达式；
(3)若小芳点分从家出发，预计到校时间不超过点分，请你用函数的性质说明小芳的骑车速度至少为多少？
【答案】(1)1400；(2)；(3)小芳的骑车速度至少为．
【解析】(1)小芳家与学校之间的距离是：()；
(2)设，当时，，
解得：，
故与的函数表达式为：；
(3)当时，，
，在第一象限内随的增大而减小，
小芳的骑车速度至少为．
考点4：反比例函数与二次函数的综合问题
典例：（2020·河北初三专题练习）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.
【答案】（1），；（2）7m；（3）.
【解析】解：（1）∵，点B到y轴的距离是5，
∴点B的坐标为.
设反比例函数的关系式为，
则，解得.
∴反比例函数的关系式为.
∵当时， ，即点A的坐标为，
∴自变量x的取值范围为；
（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为，点C坐标为.
设二次函数的关系式为，则，解得.
∴二次函数的关系式为.
当时，解得（舍去），
∴点D的坐标为，则.
∴整条滑道的水平距离为：；
（3）p的取值范围为.
由题意可知，点N坐标为（，即，为抛物线的顶点.
设水流所成抛物线的表达式为.
当水流落在点时，由，解得；
当水流落在点时，由，解得.
∴p的取值范围为.
方法或规律点拨
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．
巩固练习
1．（2018·洛阳市洛龙区龙城双语初级中学月考）如图，已知函数 与的图象交于点，点的纵坐标为１，则关于的方程的解为_____________．
【答案】
【解析】当反比例函数和二次函数交与点p且点p的纵坐标是1，所以点p的横坐标是-3，通过两个图形的交叉分析可以得出，两个函数只有在第二象限时有交点，故此方程的解是x=-3
2．（2020·湖南天心·长郡中学初三期中）如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴-＞0，
∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选A.
3．（2020·浙江高照实验学校初三月考）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.
故选D
4．（2020·石家庄外国语教育集团初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数和反比例函数的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据整点的定义，在反比例函数与坐标轴围成的范围内的整点有：、、、、，
∴二次函数与反比例函数围成的封闭图形内有4个整点的情况只有两种，
①整点是、、、，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
∵与矛盾，∴这种情况不成立；
②整点是、、、，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
∴．
故选：B．
5．（2020·广西平桂·初三期中）函数与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、由二次函数开口方向，得a＜0．当a＜0时，反比例函数图象在二、四象限，故A错误；
B、由二次函数图象开口方向，得a＞0．当a＞0时，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，故B错误；
C、由二次函数图象开口方向，得a＜0．当a＜0时，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，故C错误；
D、由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点在x轴的上方，得a＜0，反比例函数的图象应在二、四象限，故D正确．
故选D．
6．（2020·湖南茶陵·初三期末）反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y轴交于负半轴，故此选项错误；
B、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；
C、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项正确；
D、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误；
故选Ｃ．
7．（2020·山东五莲·初三期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在二四象限，
故选C．
8．（2018·全国初三课时练习）如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）
A．甲 乙
B．甲 丙
C．乙 丙
D．丙 丁
【答案】B
【解析】甲：直线与x轴交点为（3，0），与y轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为×3×4=6；
乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为×4×2=4；
丙：抛物线与x轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为×6×2=6；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为×6=3；
因此甲、丙的面积相等，
故选B．
9．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
10．（2019·福建省漳州市第一中学初三）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：的实根是函数与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当时，，无意义，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
故选D．
11．（2020·广东珠海·紫荆中学初三其他）反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大
∴a＜0
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为＞0；
故答案为C．
12．（2020·新疆初三其他）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数图象在第一、三象限，
∴只有D选项的图像符合题意；
故选：D．
13．（2019·福建初三其他）如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1与y2交于点A(4，yA)，则下列命题中，假命题是( )
A．当x＞4时， B．当时，
C．当时，0＜x＜4 D．当时，x＜0
【答案】D
【解析】由函数图象可知，当x＞4时，y1＞y2，A是真命题；
当x＜-1时，y1＞y2，C是真命题；
当y1＜y2时，0＜x＜4，C是真命题；
y1＞y2时，x＜0或x＞4，D是假命题；
故选D．
14．（2020·江西金溪一中初三一模）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】∵函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故选B．
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