北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精练

全称量词与存在量词

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列命题中是存在量词命题的是(　　)

A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等

 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数

[答案] 　D

2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)

A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立

B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立

C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立

D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立

A　[本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．]

3. 已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则p的否定为(　　)

A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n＞1000

C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000

A　[存在量词命题的否定是全称量词命题，“＞”的否定是“≤”，故选A.]

4．设x∈Z，A是奇数集，B是偶数集，则“∀x∈A,2x∈B”的否定是(　　)

A．∀x∈A,2x∉B B．∀x∉A,2x∉B

C．∃x∉A,2x∈B D．∃x∈A,2x∉B

[答案]　D

5．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x∈R，x3≤0 B．∃x∈R，3<0

C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R，2>0

D　[当x＝－1时，2＝0，故选D.]

二、填空题

6．将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．

[答案]　∀x∈R，x2＋1≠0

7．“对任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．

[答案]　存在x∈R，若y>0，则x2＋y≤0

8．对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)

②　[只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．]

三、解答题

9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．

(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有惟一解．

(2)存在实数x，使＝.

[解]　 (1)该命题是全称量词命题．

当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．

(2) 该命题是存在量词命题．

∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，

∴≤<.

故该命题是假命题．

10．写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x－3>x；

(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

[解]　(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．

(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．

(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．

(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．

11．(多选)下列命题错误的是(　　)

A．∀x∈{－1,1},2x＋1>0

B．∃x∈Q，x2＝3

C．∀x∈R，x2－1>0

D．∃x∈N，|x|≤0

ABC　[对于A，x＝－1时，不合题意；

对于B，x＝±，B错误；

对于C，比如x＝0时，－1<0，错误；D选项正确．]

12．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)

A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}

C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}

B　[∵p为假命题，

∴p的否定为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，

∴1－a≤0，则a≥1.

∴a的取值范围是a≥1，故选B.]

13．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)

是　[∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．

而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，

则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．

∴两位同学题中m范围是一致的．]

14．若“∃x∈R，x2＋3x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．

m≤　[由已知，得Δ＝32－4m≥0，解得，m≤，

所以，实数m的取值范围是m≤.]

15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

[解]　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，

所以解得2≤m≤3.

(2)由于命题q为真命题，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m＋1≤2m－1，所以m≥2.

所以解得2≤m≤4.