北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质随堂练习题

不等式的性质

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　)

A．v<40 B．v≤40

C．v>40 D．v≥40

B　[不超过即小于或等于．]

2．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，则(　　)

A．P≥Q B．P≤Q

C．P>Q D．P<Q

D　[由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，①

>>0，②

两式相乘得，>.则P<Q.]

3．已知－1<α<0,1<β<2，则－β的范围为(　　)

A． B．

C．(－1,0) D．(－1,1)

A　[－<<0，－2<－β<－1，

同向不等式相加，得－<－β<－1.]

4．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D　[∵0＜ab＜1，

∴a，b同号．

当a，b同正时，由0＜ab＜1易得b＜；

当a，b同负时，由0＜ab＜1易得b＞.

因此0＜ab＜1b＜；

反过来，由b＜得，b－＜0，即＜0，

即或

因此b＜0＜ab＜1.

综上知“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件．]

5．已知a>2，b>2，则有(　　)

A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b

C．ab>a＋b D．ab<a＋b

C　[ab－(a＋b)＝ab－(a＋b)＋1－1＝(a－1)(b－1)－1，

又由a>2，b>2，得(a－1)(b－1)>1，因此，ab>a＋b.]

二、填空题

6．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式________．

[答案]　 >

7．已知1＜a＜2,3＜b＜5，则的取值范围是________．

＜＜　[∵3＜b＜5，∴＜＜.又1＜a＜2，

∴＜＜.]

8．设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a，b，c之间的大小关系为________．

c>b>a　[a＝2－＝－<0，b＝－a>0，c＝－>0，

由b－c＝3－7＝－<0，得b<c.

所以c>b>a.]

三、解答题

9．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

[证明]　∵a>b，c>0，

∴ac>bc.∴－bc>－ac.又∵e>f，

∴e－bc>f－ac.即f－ac<e－bc.

10．已知a、b、c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．

[解]　∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，

当且仅当a＝b＝c时取等号，

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

11．(多选)若<<0，则下列结论中正确的是(　　)

A．a2<b2 B．ab<b2

C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|

ABC　[因为<<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选ABC.]

12．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是(　　)

A．> B．ac<bc

C．a(b－c)>b(a－c) D．>

ABC　[对于A，∵a>b>1，c<0，∴－＝>0，∴>，故A正确；对于B，∵a>b>1，c<0，∴ac<bc，故B正确；对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确；对于D，∵<0，a>b>1，∴<，故D错误．]

13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．

3≤z≤8　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，

－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，

∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，

∴z的取值范围是3≤z≤8.]

14．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．

②④　[若x＞y，a＞b，则－x＜－y，∴a－y＞b－x.

若x＞y, a＞b，则－b＞－a，∴x－b＞y－a，

若x＞y，a＞b，则推不出ax＞by.

若x＞y，a＞b，推不出＞.

综上，①③⑤错误，②④正确．]

15．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|.

(1)求证：b＋c>0；

(2)求证：<；

(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．

[解]　(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0.

(2)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0.

又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，

所以(a－c)2>(b－d)2>0，

所以0<<，  ①

因为a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0，               ②

所以由不等式同向同正可乘性，

①②相乘得<.

(3)因为a＋d>b＋c>0,0<<，所以<<或<<.(只要写出其中一个即可)