北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式习题

基本不等式

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若x＋在x＝a时取最小值，则a等于(　　)

A．1＋ B．1＋

C．3 D．4

C　[当x>2时，x－2＋＋2≥2＋2＝4，

当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3，选C.]

2．设x、y为正数，则的最小值为(　　)

A．6 B．9

C．12 D．15

B　[＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当y＝2x时，等号成立．]

3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

D　[∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，

∴xy≤，在x＝y＝时取等号．

∴＝＝＋1≥＋1＝9.故选D.]

4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是　

(　　)

A．80元 B．120元

C．160元 D．240元

C　[设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.

T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．

故该容器的最低总造价是160元．]

5．当x＞3时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2] B．(－∞，5]

C．[0，＋∞) D．[2,5]

B　[∵x＋≥a恒成立，

∴a必须小于或等于x＋的最小值．

∵x＞3，∴x－3＞0.

∴x＋＝(x－3)＋＋3≥5，当且仅当x＝4时取最小值5.

故选择B.]

二、填空题

6.(－6≤a≤3)的最大值为________．

　[因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．]

7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

　[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，

所以有＝≤＝，

即的最大值为，故a≥.]

8．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．

3　[由已知，得y＝，

所以＝＝≥＝3.

当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.]

三、解答题

9．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)

[解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得

y＝2x－＝118－

＝118－

＝130－

≤130－2 ＝130－112＝18(千元)，

当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．

所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．

10．当x>3时，求函数y＝的最小值．

[解]　 ∵x>3，∴x－3>0.

又y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．

所以，y＝的最小值为24.

11．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，且x≠0，x＋≥2

B．∃x∈R，使得x2＋1≤2x

C．若x>0，y>0，则≥

D．若x≥，则的最小值为1

BCD　[对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋≥2对x<0时不成立，错误；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝＝＝，因为x≥，所以x－2>0.所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，故y的最小值为1，正确．]

12．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)·≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.]

13．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.

(1)则ab的最小值为________；

(2)则a＋2b的最小值为________．

(1)8　(2)9　[因为2a＋b＝ab，所以＋＝1；

(1)因为a>0，b>0，

所以1＝＋≥2，

当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，

所以ab≥8，即ab的最小值为8；

(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，

所以a＋2b的最小值为9.]

14．设a＞b＞c，n∈N＋，试求使不等式＋≥成立的n的最大值为________．

4　[∵a－c＞0，要使原不等式成立，

只需＋≥n成立．即＋≥n成立．

也就是2＋＋≥n成立．又＋≥2，

∴n≤4，∴n有最大值为4.]

15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

求(1) xy的最小值；(2) x＋y的最小值．

[解]　 (1)∵x>0，y>0，

∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，

∴≥8，即xy≥64.

当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立．

∴xy的最小值为64.

(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.

∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝18，

当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．

∴x＋y的最小值为18.