高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 对数的概念课时练习

对数函数的概念、图象和性质

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)

C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)

D　[由解得∴x≥4且x≠10，

∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.]

2．函数f(x)＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞) B．(0,1)

C．(1，＋∞) D．R

C　[结合f(x)＝log2x的图象可知，f(m)>0时，m>1.]

3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于(　　)

A．M B．N

C．∅ D．R

A　[M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M.]

4．函数y＝4x的反函数是(　　)

A．y＝4x B．y＝x4

C．y＝logx4 D．y＝log4x

[答案]　D

5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

 　           　A　　 　　B　　  　C　 　　 D

C　[y＝a－x＝x，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.]

二、填空题

6．函数f(x)＝的定义域是________．

(0,4]　[由2－log2x≥0，得log2x≤2，又x＞0，

∴0<x≤4.]

7．已知函数f(x)＝则f ＝________.

　[f ＝f ＝f(－2)＝3－2＝.]

8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．

1　[∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，

∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1.]

三、解答题

9．求函数y＝log2x＋的定义域．

[解]　由题意知，

∴故有<x<1或x>1，

所以原函数的定义域是.

10．当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？

[解]　在同一坐标系，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图象，如图所示．

由图象得：当m<0时，方程无解；

当m＝0时，方程有一解；

当m>0时，方程有两解．

11．(多选)已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则f(x)(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．在(0,10)上单调递增

D．在(0,10)上单调递减

BD　[由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，因为∀x∈(－10,10)都有－x∈(－10,10)，且f(－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．

f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lg x递增，故函数f(x)在(0,10)上递减．]

12．方程x－log2x＝0的解的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．不确定

B　[在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝log2x的图象，如图所示．

由图知它们的图象只有一个交点，即方程x＝log2x仅有一个解．]

13．已知函数f(x)＝|x|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．

[1,2]　[作出f(x)＝|x|的图象(如图)可知f ＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.

]

14．已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.

当x∈(－∞，0)时，函数f(x)的解析式为________．

f(x)＝log2(－x)　[设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，

所以f(－x)＝log2(－x)，

又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，

得f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0))．]

15．已知f(x)是对数函数，并且它的图象过点，g(x)＝f2(x)－2b·f(x)＋3，其中b∈R.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求y＝g(x)在[，16]上的最小值．

[解]　(1)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

∵f(x)的图象过点，

∴f(2)＝，即loga2＝，

∴a＝2＝2，即a＝2，∴f(x)＝log2x.

(2)设t＝f(x)，则y＝g(x)＝t2－2bt＋3＝(t－b)2＋3－b2＝m(t)，

∵≤x≤16，∴≤log2x≤4，

即t∈，函数m(t)的图象的对称轴方程为t＝b.

①当b≤时，m(t)在上是增函数，ymin＝m＝－b；

②当<b<4时，m(t)在上为减函数，在(b,4]上为增函数，ymin＝m(b)＝3－b2；

③当b≥4时，m(t)在上是减函数，ymin＝m(4)＝19－8b.

综上所述，ymin＝