高中数学4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一课一练

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中y随x的增大而增大，且增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 020ln x B．y＝ex

C．y＝2 020x D．y＝2 020·2x

B　[由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当x越来越大时，函数y＝ex与y＝2 020·2x的增长越来越快，由于e>2，当x超过某一个值时，函数y＝ex的值会超过y＝2 020·2x的值，故选B.]

2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

　 　            A　　　　B　　　  C　 　　D

D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.]

3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为(　　)

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

D　[法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．

法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.]

4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)

A．y＝2x－2 B．y＝x

C．y＝log2x D．y＝(x2－1)

D　[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.]

5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　)

A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1

B　[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]

二、填空题

6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．

甲　[把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．]

7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是_______．

y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快，

∴x2要比xln x增长的要快．]

8.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：

①前三年中产量增长的速度越来越快；

②前三年中产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．

②③　[由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0＜a＜1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产．]

三、解答题

9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．

[解]　函数f(x)与g(x)的图象如图所示．

根据图象易得：

当0≤x<4时，f(x)>g(x)；

当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．

10．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

[解]　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图)．

观察图象发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

11．在某个物理实验中，测量得列变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x B．y＝x2－1

C．y＝2x－2 D．y＝log2x

D　[将x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.]

12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有(　　)

A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)

C．f(bx)<f(cx) D．f(bx)，f(cx)大小不定

B　[由f(1＋x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2.

由f(0)＝3，知c＝3.此时f(x)＝x2－2x＋3.

当x<0时，3x<2x<1，函数y＝f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，所以f(bx)<f(cx)；

当x＝0时，f(bx)＝f(cx)；

当x>0时，3x>2x>1，函数y＝f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f(bx)<f(cx)．综上，f(bx)≤f(cx)．]

13.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．

有以下说法：

①第4个月时，剩留量就会低于；

②每月减少的有害物质质量都相等；

③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.

其中所有正确说法的序号是________．

①③　[由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝t.

当t＝4时，y＝<，故①正确；

当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝，t2＝，t3＝，t1＋t2＝t3，故③正确．]

14．甲、乙两地相距500 km，一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120 km/h.已知运输汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本y与速度v的函数关系是y＝________，当运输汽车的行驶速度为________km/h时，全程运输成本最小．

18(0＜v≤120)　100　[运输汽车从甲地到乙地所用的时间为(0＜v≤120)，则全程运输成本y＝·＝18(0＜v≤120)，

而v＋≥2＝200，当且仅当v＝，即v＝100时取等号，故当运输汽车的行驶速度为100 km/h时，全程运输成本最小．]

15．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：

若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.

(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．

[解]　(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，

若模型为f(x)＝2x＋a，

则由f(1)＝21＋a＝4，

得a＝2，即f(x)＝2x＋2，

此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．

若模型为f(x)＝x＋a，

则f(x)是减函数，与已知不符合．

由已知得解得

所以f(x)＝x＋，x∈N.

故最适合的函数模型解析式为f(x)＝x＋，x∈N.

(2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，

2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.

2021年的年产量为9.1万件．