2021_2022学年新教材高中数学课后落实31实际问题中的函数模型含解析北师大版必修第一册

实际问题中的函数模型

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(　　)

A． B．

C．－1 D．－1

D　[设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.]

2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)

A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)

B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)

C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

C　[由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200.]

3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝0.957 6 B．y＝0.957 6100x

C．y＝x D．y＝1－0.042 4

A　[设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100,1－t%＝

0.957 6，∴y＝(1－t%)x＝0.957 6.]

4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)

A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14

A　[由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，

∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．

∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]

5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)

A．75,25 B．75,16 

C．60,25  D．60,16

D　[由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]

二、填空题

6．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.

9　[设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为 m，

所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0<x≤6)，当x＝3 m时，S最大＝9 m2.]

7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．

1.75　[由题意有解得∴y＝－2×0.5x＋2，

∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．]

8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

7　[由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3，

以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，

令3n2≤150，得1≤n≤5⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]

三、解答题

9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．

(1)试求a的值；

(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

[解]　(1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.

(2)∵销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1 000x－16 000

＝－10(x－50)2＋9 000，故当x＝50时，W取最大值9 000，

即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元．

10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．

(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解]　(1)当0<x≤30时，y＝900；当30<x≤75，y＝900－10(x－30)＝1 200－10x；

即y＝

(2)设旅行社所获利润为S元，则当0<x≤30时，S＝900x－15 000；

当30<x≤75时，S＝x(12 00－10x)－15 000＝－10x2＋1 200x－15 000；

即S＝

因为当0<x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12 000；

当30<x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000＝－10(x－60)2＋21 000，

即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.

所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．

11．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．

　 　             图①　　　　图②　　　　图③

则下列说法中，正确的有(　　)

A．图②的建议：提高成本，并提高票价

B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变

C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变

D．图③的建议：提高票价，并降低成本

BC　[根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．]

12．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为(　　)

A．5 m B．3.5 m

C．5.5 m D．7.5 m

D　[根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是所求函数解析式是y＝－(x＋2)2＋8(－10≤x<0)或y＝－(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m．故选D.]

13．某市居民生活用水收费标准如下：

已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．

(1)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为________元；

(2)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，则该用户最多可以用水________吨．

(1)7.5　(2)6.5　[(1)由题设可得

y＝

当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，

代入得解得

所以y关于x的函数解析式为

y＝

当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.

故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．

(2)令6x－15≤24，解得x≤6.5.

故该用户最多可以用6.5 t水．]

14．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

e6－1　[当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，∴ln＝6，

∴＝e6－1.]

15．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：

已知第10天的日销售收入为121元．

(1)求k的值；

(2)给出以下四种函数模型：

①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．

[解]　(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.

(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．

(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|

＝

所以f(x)＝P(x)·Q(x)

＝

当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上单调递减，在[10,25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121；

当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124.

综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121.

所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.