数学必修 第一册4.1 样本的数字特征课时训练

样本的数字特征

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是(　　)

A．7 B．5

C．6 D．11

B　[由这组数据的众数为5，可知x＝5.把这组数据由小到大排列为－3,5,5,7,11，可知中位数为5.]

2．(多选)某同学的6次数学测试成绩(满分100分)分别为：78,83,83,85,91,90，给出关于该同学数学成绩的以下说法，其中正确的是(　　)

A．最大值为91 B．中位数为83

C．众数是83 D．平均数是85

ACD　[由题中数据可知，最大值为91，故A正确；中位数为84，故B错误；众数为83，故C正确；平均数为＝85，故D正确．故选ACD]

3．下面的表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)

A．12,15 B．15,15

C．15,18 D．18,18

C　[乙组数据的平均数：(9＋15＋18＋24＋y)÷5＝16.8，解得y＝18，因为甲组数据共有5个，且中位数为15，所以x＝15，故选C.]

4．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是(　　)

A．0.2,0.127 B．0.3,0.016

C．9.4,0.080 D．0.3,0.216

B　[由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.7－9.4＝0.3，平均值为×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，

所以该射手成绩的方差s2＝×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016，故选B.]

5．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全按大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为(　　)

A．6 B．

C．66 D．6.5

A　[∵(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，

∴x＝5.

方差s2＝＝＝6.]

二、填空题

6．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．

85　[由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分)．]

7．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．

150　[由题意知，该组数据的平均数为×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，

所以该组数据的方差为s2＝×[(450－450)2＋(430－450)2＋(460－450)2＋(440－450)2＋(450－450)2＋(440－450)2＋(470－450)2＋(460－450)2]＝150.]

8．五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．

5　　[由＝3，得a＝5；

由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝.]

三、解答题

9．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据如下：

甲：47 52 53 53 55 60 60 61 63 63

63 64 65 65 70 70 71 71 72 72

76 76 78 82 84 84 85 87 90 92

乙：45 53 53 58 60 60 60 61 61 62

62 63 63 65 70 70 72 72 72 73

73 76 76 79 81 81 85 85 88 90

(1)若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值．

[解]　(1)设甲校高三年级总人数为n，则＝0.05，解得：n＝600，

又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，

∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为：1－＝.

(2)用样本估计总体，甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，由题中数据可知：

301＝47＋52＋53＋···＋87＋90＋92＝2084；

302＝45＋53＋53＋···＋85＋88＋90＝2069；

∴1－2＝＝＝0.5，

∴估计1－2的值为0.5.

10．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：

甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；

乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？

[解]　(1)甲群市民年龄的平均数为

＝15(岁)，

中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)乙群市民年龄的平均数为

＝15(岁)，

中位数为5.5岁，众数为6岁．

由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

11．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　)

A．平均数是10，方差为2

B．平均数是11，方差为3

C．平均数是11，方差为2      

D．平均数是10，方差为3

C　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s.]

12．为了普及环保知识，增强保护环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)

A．me＝m0＝ B．m0<<me

C．me<m0< D．m0<me<

D　[由题图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15,16个数的平均数，即me＝＝5.5,5出现次数最多，故m0＝5，＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.于是m0<me<.]

13．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.

91　[由题意得

即

解得或

所以xy＝91.]

14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4(x1≤x2≤x3≤x4)，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．

1,1,3,3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．

由条件知

即

又x1，x2，x3，x4为正整数，

∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.

∵s＝＝1，

∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.

由此可得4个数分别为1,1,3,3.]

15．高一(3)班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．

(1)求这次测验的全班平均分(精确到0.01)；

(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？

(3)男同学的平均分与中位数相差较大说明了什么？

[解]　(1)这次测验全班平均分＝(82×27＋80×21)≈81.13(分)．

(2)因为男同学的中位数是75，

所以至少有14人得分不超过75分．

又因为女同学的中位数是80分，

所以至少有11人得分不超过80分．

所以全班至少有25人得分低于80分．

(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．