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【真题汇编】2022年北京市顺义区中考数学备考真题模拟测评 卷（Ⅰ）（含答案详解）
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这是一份【真题汇编】2022年北京市顺义区中考数学备考真题模拟测评 卷（Ⅰ）（含答案详解），共32页。试卷主要包含了下列命题中，真命题是等内容，欢迎下载使用。
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号学 级年 名姓
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2022年北京市顺义区中考数学备考真题模拟测评 卷（Ⅰ）
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2、某商品原价为 200 元，连续两次平均降价的百分率为 a ，连续两次降价后售价为 148 元， 下面所列方程正确的是 （ ）
A．200（1 + a）2 = 148 B．200（1 - a）2 = 148
C．200（1 - 2a）2 = 148 D．200（1 - a 2）= 148
3、已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90°
4、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2
5、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝32°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（ ）
A．63° B．58° C．54° D．56°
6、下列命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等
B．有两条边对应相等的等腰三角形全等
C．互余的两个角都是锐角
D．相等的角是对顶角．
7、为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（+x)=288 B．200（1+2x)=288
C．200（1+x)²＝288 D．200（1+x²)=288
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8、二次函数()的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④对于任意不等于-1的m的值一定成立．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、如图是一个正方体展开图，将其围成一个正方体后，与“罩”字相对的是（ ）．
A．勤 B．洗 C．手 D．戴
10、如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A．AB = CD B．∠B = ∠D C．AD = CB D．∠BAC = ∠DCA
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是_____．
2、已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是_____．
3、如果将方程变形为用含的式子表示，那么_______．
4、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．
5、如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、 “疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动•共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：90，80，90，86，99，96，96，100，89，82
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八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
90
c
52
八年级
92
b
100
50.4
八年抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
2、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，当其中一条射线回到起始位置时，运动停止，直线MN保持不动，设旋转时间为ts．
（1）当t＝3时，∠AOB＝ ；
（2）在运动过程中，当射线OB与射线OA垂直时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在这样的t，使得射线OB、射线OA和射线OM，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分？如果存在，直接写出答案；如果不存在，请说明理由．
3、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A（﹣1，6）与B（4，1）两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出该二次函数的图象；
（3）结合图象，写出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4、在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．
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（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．
5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线上有两点和点．
（1）用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
（2）当时，结合函数图象，求a的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，进而判断即可．
【详解】
解：A．，故此选项计算错误，符合题意；
B．，故此选项计算正确，不合题意；
C．，故此选项计算正确，不合题意；
D．，故此选项计算正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则，熟记乘法法则是解题的关键．
2、B
【分析】
第一次降价后价格为，第二次降价后价格为整理即可．
【详解】
解：第一次降价后价格为
第二次降价后价格为
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故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于明确每次降价前的价格．
3、B
【分析】
根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
解：分别作OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AB，OD⊥AB，
∴AE=AB=，AD=AC=，
∴，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠CAO=90°-30°=60°，∠BAO=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，
同理可求，∠CAB′=60°-45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．
4、A
【分析】
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．
【详解】
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
5、C
【分析】
先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．
【详解】
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解：∵∠A=33°，∠B=30°，
∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=63°，
∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-63°-63°=54°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．
6、C
【分析】
根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、余角的概念、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、有两条边对应相等的等腰三角不一定形全等，故本选项说法是假命题；
C、互余的两个角都是锐角，本选项说法是真命题；
D、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行，同位角相等，此时两个同位角不是对顶角，故本选项说法是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7、C
【分析】
设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．
【详解】
解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．
故选C．
【点睛】
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
8、C
【分析】
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x＝﹣1，可得x＝﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据1，得出b＝2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．
【详解】
解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
①正确；
∵1，
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∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，
∴②正确；
∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
③错误；
∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．
∴m（am+b）＜a﹣b．
故④正确
∴正确的有①②④三个，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．
9、C
【分析】
本题要有一定的空间想象能力，可通过折纸或记口诀的方式找到“罩”的对面应该是“手”．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“罩”相对的面是“手”；
故选：C．
【点睛】
可以通过折一个正方体再给它展开，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，解决此类问题．还可以直接记口诀找对面：＂跳一跳找对面；找不到，拐个弯＂．
10、C
【分析】
由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可．
【详解】
∵AD∥BC，
∴．
∵AC为公共边，
∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
二、填空题
1、##
【分析】
如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．
【详解】
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解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝ ，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴ ·CD·EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴ ＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造合适的直角三角形是解题的关键．
2、2﹣2
【分析】
先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．
【详解】
解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】
本题考查了黄金分割点，牢记黄金分割比是解题的关键．
3、
【分析】
先移项，再系数化为1即可．
【详解】
解：移项，得：，
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方程两边同时除以，得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程，将x看作常数，把y看做未知数，灵活应用等式的性质求解是关键．
4、
【分析】
设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标（-2，-3）求得a．
【详解】
解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式．
5、4或
【分析】
以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则存在两种情况，即△BDE∽△BCA，也可能是△BDE∽△BAC，应分类讨论，求解．
【详解】
解：如图，DE//BC
①当∠AED=∠C时，即DE∥AC
则△BDE∽△BCA，
∴
∵BD＝BC，
∴
∴
②当∠BED=∠C时，△BED∽△BCA
∴，即
∴
综上，BE=4或
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故答案为4或
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．
三、解答题
1、
（1）a=40，b=94，c=90和96
（2）八年级，理由见解析
（3）416人
【分析】
（1）根据频率=频数÷总数，中位数、众数的计算方法进行计算即可；
（2）比较方差的大小得出答案；
（3）求出七、八年级优秀人数所占的百分比即可．
【小题1】
解：八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90，
∴C组所占的百分比为3÷10×100%=30%，
∵1-10%-20%-30%=40%，
即a=40，
八年级A组的有2人，B组的有1人，C组有3人，D组的有4人，将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b=94，
七年级10名学生成绩出现次数最多的是90和96，因此众数是90和96，即c=90和96，
故答案为：40，94，90和96；
【小题2】
八年级学生掌握自我防护知较好，理由：
∵七年级的方差为52，八年级的方差是50.4，而52＞50.4，
∴八年级学生的成绩较为稳定，
∴八年级学生掌握自我防护知较好；
【小题3】
640×=416（人），
答：参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是416人．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的关键．
2、
（1）150°
（2）9或27或45；
（3）t为、、、、
【分析】
（1）求出∠AOM及∠BON的度数可得答案；
（2）分两种情况：①当时，②当时，根据OA与OB重合前，OA与OB重合后，列方程求解；
（3）射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，②OA分∠BOM为3：2时，③OB分∠AOM为2：3时，④OB分∠AOM为3：2时，⑤OM分∠AOB为2：3时，⑥ OB分∠AOM为2：3时，⑦OB分∠AOM为3:2时，⑧ OA分∠BOM为3:2时，⑨ OA分∠BOM为2:3时，列方程求解并讨论是否符合题意．
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（1）
解：当t＝3时，∠AOM=12°，∠BON=18°，
∴∠AOB＝180°-∠AOM-∠BON=150°，
故答案为：150°；
（2）
解：分两种情况：
①当时，
当OA与OB重合前，，得t=9；
当OA与OB重合后，，得t=27；
②当时，
当OA与OB重合前，，得t=45；
当OA与OB重合后，，得t=63（舍去）；
故t的值为9或27或45；
（3）
解：射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，
∴4t：（180-4t-6t）=2：3，
解得：t=；
②OA分∠BOM为3：2时，
∴4t：（180-4t-6t）=3：2，
解得：t=；
③OB分∠AOM为2：3时，
∵，
∴，
得t=；
④OB分∠AOM为3：2时，
∴，
得t=；
⑤OM分∠AOB为2：3时，
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∴，
得t=54，
此时>180°，故舍去；
⑥ OB分∠AOM为2：3时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑦OB分∠AOM为3:2时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑧ OA分∠BOM为3:2时，
∴，
得，
⑨ OA分∠BOM为2:3时，
∴，
得t=67.5（舍去）
综上，当t的值分别为、、、、时，射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分．
【点睛】
此题考查了角的计算，角的旋转，几何图形中角度的度数比，列一元一次方程，正确画出图形求角度值是解题的关键．
3、
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（1）
（2）见解析
（3）开口向上，对称轴为，顶点坐标为
【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据顶点，对称性描出点，进而画出该二次函数的图形即可；
（3）根据函数图像直接写出开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）
将点A（﹣1，6）与B（4，1）代入y＝ax2+bx+1
即
解得
（2）
由，确定顶点坐标以及对称轴，根据对称性求得描出点关于的对称点，作图如下，
（3）
根据图象可知，的图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，画二次函数图象，的图象与性质，求得解析式是解题的关键．
4、（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；
（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．
【详解】
（1）∵，
∴是等腰三角形，
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∵，
∴,，
∵AD为ABC的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2），证明如下：
如图2，在线段AB上取点G，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，如图3所示：
与（2）同理：在线段AB上取点H，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为的中线，
∴，
∵，
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∴，
∴，
∴，
∴，
当时，如图4所示：
在线段AB的延长线上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．
5、
（1）b=4a，-2
（2）或．
【分析】
（1）将（-1，0）代入函数解析式可得，则抛物线对称轴为直线．
（2）由点B坐标可得AB所在直线为，过点B作轴交x轴于点C，可得AB为等腰直角三角形的斜边，从而可得点B当时和时点B的坐标为（2，3）或（4，3）或（-4，-3）或（-6，-5），再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．
（1）
将（-1，0）代入得，
∴，
∴抛物线对称轴为直线．
（2）
∵点B坐标为，
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∴点B所在直线为，
∴点A在直线上，
过点B作轴交x轴于点C，
则，，
∴AB为等腰直角三角形的斜边，
∴当时，，当时，，
∴或，
∴点B坐标为（2，3）或（4，3）或或，
当时，抛物线开口向上，
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-3，0），
∴抛物线开口向上时，抛物线不经过，，
将（2，3）代入得，
解得，
将（4，5）代入得，
解得，
∴．
时，抛物线开口向下，抛物线不经过，，
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了抛物线与系数的关系，对称轴，抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，熟练掌握抛物线的性质，灵活运用分类思想，待定系数法是解题的关键．
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2022年北京市顺义区中考数学备考真题模拟测评 卷（Ⅰ）
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2、某商品原价为 200 元，连续两次平均降价的百分率为 a ，连续两次降价后售价为 148 元， 下面所列方程正确的是 （ ）
A．200（1 + a）2 = 148 B．200（1 - a）2 = 148
C．200（1 - 2a）2 = 148 D．200（1 - a 2）= 148
3、已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90°
4、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2
5、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝32°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（ ）
A．63° B．58° C．54° D．56°
6、下列命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等
B．有两条边对应相等的等腰三角形全等
C．互余的两个角都是锐角
D．相等的角是对顶角．
7、为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（+x)=288 B．200（1+2x)=288
C．200（1+x)²＝288 D．200（1+x²)=288
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8、二次函数()的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④对于任意不等于-1的m的值一定成立．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、如图是一个正方体展开图，将其围成一个正方体后，与“罩”字相对的是（ ）．
A．勤 B．洗 C．手 D．戴
10、如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A．AB = CD B．∠B = ∠D C．AD = CB D．∠BAC = ∠DCA
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是_____．
2、已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是_____．
3、如果将方程变形为用含的式子表示，那么_______．
4、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是_____．
5、如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、 “疫情未结束，防疫绝不放松”．为了了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校开展了“全民行动•共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：90，80，90，86，99，96，96，100，89，82
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八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
90
c
52
八年级
92
b
100
50.4
八年抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
2、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，当其中一条射线回到起始位置时，运动停止，直线MN保持不动，设旋转时间为ts．
（1）当t＝3时，∠AOB＝ ；
（2）在运动过程中，当射线OB与射线OA垂直时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在这样的t，使得射线OB、射线OA和射线OM，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分？如果存在，直接写出答案；如果不存在，请说明理由．
3、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A（﹣1，6）与B（4，1）两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出该二次函数的图象；
（3）结合图象，写出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4、在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．
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（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．
5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线上有两点和点．
（1）用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
（2）当时，结合函数图象，求a的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，进而判断即可．
【详解】
解：A．，故此选项计算错误，符合题意；
B．，故此选项计算正确，不合题意；
C．，故此选项计算正确，不合题意；
D．，故此选项计算正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则，熟记乘法法则是解题的关键．
2、B
【分析】
第一次降价后价格为，第二次降价后价格为整理即可．
【详解】
解：第一次降价后价格为
第二次降价后价格为
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故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于明确每次降价前的价格．
3、B
【分析】
根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
解：分别作OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AB，OD⊥AB，
∴AE=AB=，AD=AC=，
∴，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠CAO=90°-30°=60°，∠BAO=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，
同理可求，∠CAB′=60°-45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．
4、A
【分析】
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．
【详解】
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
5、C
【分析】
先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．
【详解】
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解：∵∠A=33°，∠B=30°，
∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=63°，
∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-63°-63°=54°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．
6、C
【分析】
根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、余角的概念、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、有两条边对应相等的等腰三角不一定形全等，故本选项说法是假命题；
C、互余的两个角都是锐角，本选项说法是真命题；
D、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行，同位角相等，此时两个同位角不是对顶角，故本选项说法是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7、C
【分析】
设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．
【详解】
解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．
故选C．
【点睛】
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
8、C
【分析】
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x＝﹣1，可得x＝﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据1，得出b＝2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．
【详解】
解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
①正确；
∵1，
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∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，
∴②正确；
∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
③错误；
∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．
∴m（am+b）＜a﹣b．
故④正确
∴正确的有①②④三个，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．
9、C
【分析】
本题要有一定的空间想象能力，可通过折纸或记口诀的方式找到“罩”的对面应该是“手”．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“罩”相对的面是“手”；
故选：C．
【点睛】
可以通过折一个正方体再给它展开，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，解决此类问题．还可以直接记口诀找对面：＂跳一跳找对面；找不到，拐个弯＂．
10、C
【分析】
由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可．
【详解】
∵AD∥BC，
∴．
∵AC为公共边，
∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
二、填空题
1、##
【分析】
如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．
【详解】
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解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝ ，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴ ·CD·EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴ ＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造合适的直角三角形是解题的关键．
2、2﹣2
【分析】
先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．
【详解】
解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】
本题考查了黄金分割点，牢记黄金分割比是解题的关键．
3、
【分析】
先移项，再系数化为1即可．
【详解】
解：移项，得：，
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
号学 级年 名姓
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 外 · · · · · · ○ · · · · · ·
方程两边同时除以，得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程，将x看作常数，把y看做未知数，灵活应用等式的性质求解是关键．
4、
【分析】
设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标（-2，-3）求得a．
【详解】
解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式．
5、4或
【分析】
以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则存在两种情况，即△BDE∽△BCA，也可能是△BDE∽△BAC，应分类讨论，求解．
【详解】
解：如图，DE//BC
①当∠AED=∠C时，即DE∥AC
则△BDE∽△BCA，
∴
∵BD＝BC，
∴
∴
②当∠BED=∠C时，△BED∽△BCA
∴，即
∴
综上，BE=4或
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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故答案为4或
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．
三、解答题
1、
（1）a=40，b=94，c=90和96
（2）八年级，理由见解析
（3）416人
【分析】
（1）根据频率=频数÷总数，中位数、众数的计算方法进行计算即可；
（2）比较方差的大小得出答案；
（3）求出七、八年级优秀人数所占的百分比即可．
【小题1】
解：八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90，
∴C组所占的百分比为3÷10×100%=30%，
∵1-10%-20%-30%=40%，
即a=40，
八年级A组的有2人，B组的有1人，C组有3人，D组的有4人，将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b=94，
七年级10名学生成绩出现次数最多的是90和96，因此众数是90和96，即c=90和96，
故答案为：40，94，90和96；
【小题2】
八年级学生掌握自我防护知较好，理由：
∵七年级的方差为52，八年级的方差是50.4，而52＞50.4，
∴八年级学生的成绩较为稳定，
∴八年级学生掌握自我防护知较好；
【小题3】
640×=416（人），
答：参加竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是416人．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的关键．
2、
（1）150°
（2）9或27或45；
（3）t为、、、、
【分析】
（1）求出∠AOM及∠BON的度数可得答案；
（2）分两种情况：①当时，②当时，根据OA与OB重合前，OA与OB重合后，列方程求解；
（3）射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，②OA分∠BOM为3：2时，③OB分∠AOM为2：3时，④OB分∠AOM为3：2时，⑤OM分∠AOB为2：3时，⑥ OB分∠AOM为2：3时，⑦OB分∠AOM为3:2时，⑧ OA分∠BOM为3:2时，⑨ OA分∠BOM为2:3时，列方程求解并讨论是否符合题意．
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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（1）
解：当t＝3时，∠AOM=12°，∠BON=18°，
∴∠AOB＝180°-∠AOM-∠BON=150°，
故答案为：150°；
（2）
解：分两种情况：
①当时，
当OA与OB重合前，，得t=9；
当OA与OB重合后，，得t=27；
②当时，
当OA与OB重合前，，得t=45；
当OA与OB重合后，，得t=63（舍去）；
故t的值为9或27或45；
（3）
解：射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，
∴4t：（180-4t-6t）=2：3，
解得：t=；
②OA分∠BOM为3：2时，
∴4t：（180-4t-6t）=3：2，
解得：t=；
③OB分∠AOM为2：3时，
∵，
∴，
得t=；
④OB分∠AOM为3：2时，
∴，
得t=；
⑤OM分∠AOB为2：3时，
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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∴，
得t=54，
此时>180°，故舍去；
⑥ OB分∠AOM为2：3时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑦OB分∠AOM为3:2时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑧ OA分∠BOM为3:2时，
∴，
得，
⑨ OA分∠BOM为2:3时，
∴，
得t=67.5（舍去）
综上，当t的值分别为、、、、时，射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分．
【点睛】
此题考查了角的计算，角的旋转，几何图形中角度的度数比，列一元一次方程，正确画出图形求角度值是解题的关键．
3、
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（1）
（2）见解析
（3）开口向上，对称轴为，顶点坐标为
【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据顶点，对称性描出点，进而画出该二次函数的图形即可；
（3）根据函数图像直接写出开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）
将点A（﹣1，6）与B（4，1）代入y＝ax2+bx+1
即
解得
（2）
由，确定顶点坐标以及对称轴，根据对称性求得描出点关于的对称点，作图如下，
（3）
根据图象可知，的图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，画二次函数图象，的图象与性质，求得解析式是解题的关键．
4、（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；
（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．
【详解】
（1）∵，
∴是等腰三角形，
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∵，
∴,，
∵AD为ABC的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2），证明如下：
如图2，在线段AB上取点G，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，如图3所示：
与（2）同理：在线段AB上取点H，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为的中线，
∴，
∵，
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∴，
∴，
∴，
∴，
当时，如图4所示：
在线段AB的延长线上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．
5、
（1）b=4a，-2
（2）或．
【分析】
（1）将（-1，0）代入函数解析式可得，则抛物线对称轴为直线．
（2）由点B坐标可得AB所在直线为，过点B作轴交x轴于点C，可得AB为等腰直角三角形的斜边，从而可得点B当时和时点B的坐标为（2，3）或（4，3）或（-4，-3）或（-6，-5），再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．
（1）
将（-1，0）代入得，
∴，
∴抛物线对称轴为直线．
（2）
∵点B坐标为，
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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∴点B所在直线为，
∴点A在直线上，
过点B作轴交x轴于点C，
则，，
∴AB为等腰直角三角形的斜边，
∴当时，，当时，，
∴或，
∴点B坐标为（2，3）或（4，3）或或，
当时，抛物线开口向上，
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-3，0），
∴抛物线开口向上时，抛物线不经过，，
将（2，3）代入得，
解得，
将（4，5）代入得，
解得，
∴．
时，抛物线开口向下，抛物线不经过，，
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了抛物线与系数的关系，对称轴，抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，熟练掌握抛物线的性质，灵活运用分类思想，待定系数法是解题的关键．
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