【真题汇总卷】2022年北京市燕山地区中考数学模拟真题测评 A卷（含答案详解）

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2022年北京市燕山地区中考数学模拟真题测评 A卷 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列方程是一元二次方程的是（    ）A．x2＋3xy＝3 B．x2＋＝3 C．x2＋2x D．x2＝32、已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23、在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）与点B（0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（　　）A．轴 B．轴C．直线（直线上各点横坐标均为1） D．直线（直线上各点纵坐标均为1）4、下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）A．ax2﹣bx+c＝0 B．2ax（x﹣1）＝2ax2+x﹣5C．（a2+1）x2﹣x+6＝0 D．（a+1）x2﹣x+a＝05、下列说法正确的是（   ）A．不相交的两条直线叫做平行线B．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线6、如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：17、一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（    ）A． B．133 C．200 D．4008、已知一个圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ）A．10π B．12π C．16π D．20π9、将抛物线y＝2x2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（    ）A．y＝2（x﹣3）2 B．y＝2（x＋3）2 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2＋310、有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，-2，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，-11，-2，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2022以后所产生的那个新数串的所有数之和是（　　　）A．20228 B．10128 C．5018 D．2509第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝______°．2、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，联结BD，如果∠DAC＝∠DBA，那么∠BAC＝___度．3、已知点A的坐标是，点B是正比例函数的图像上一点，若只存在唯一的点B，使为等腰三角形，则k的取值范围是______．4、如图，是用若干个边长为1的小正方体堆积而成的几何体，该几何体的左视图的面积为__________5、如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：（1）（2）2、综合与实践如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在中，，，在中，，，点，分别在，边行，直角顶点重合在一起，将绕点逆时针旋转，设旋转角，其中．（1）当点落在上时，如图2：①请直接写出的度数为______（用含的式子表示）；②若，，求的长；（2）如图3，连接，，并延长交于点，请判断与的位置关系，并加以证明；（3）如图4，当与是两个相等钝角时，其他条件不变，即在与中，，，，，则的度数为______（用含或的式子表示）．3、如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，与相交于点，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）已知，，，请你写出的值．4、一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求图1中∠BOD的度数．（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即∠AOE＝），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值；②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．5、为了打造年级体育啦啦队，某年级准备投入一笔资金为啦啦队队员配置一些花球．经过多方比较，准备在甲、乙两个商家中选择一个．已知花球单价是市场统一标价为20元，由于购买数量多，两个商家都给出了自己的优惠条件（见表）：甲商家乙商家购买数量x（个）享受折扣购买数量y（个）享受折扣x≤50的部分9.5折y≤100的部分9折50＜x2≤00的部分8.8折100＜y≤200的部分8.5折x＞200的部分8折y＞200的部分8折（1）如果需要购买100个花球，请问在哪个商家购买会更便宜？（2）经年级学生干部商议，最终决定选择在乙商家购买花球，并根据实际需要分两次共购买了350个花球，且第一次购买数量小于第二次，共花费140元，请问两次分别购买了多少个花球？ -参考答案-一、单选题1、D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是分式方程，故本选项不符合题意；C．不是方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．2、B【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此先求出m，n的值，然后代入代数式求解即可得．【详解】解：∵与点关于y轴对称，∴，，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查点关于坐标轴对称的特点，求代数式的值，理解题意，熟练掌握点关于坐标轴对称的特点是解题关键．3、C【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．【详解】根据A点和B点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为．故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化—轴对称，掌握成轴对称的两个点的坐标的特点是解答本题的关键．4、C【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B．2ax（x-1）=2ax2+x-5整理后化为：-2ax-x+5=0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C．（a2+1）x2-x+6=0，是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；D．当a=-1时，（a+1）x2-x+a=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．5、B【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A错误；过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B正确；平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C错误；过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D错误；故选：B．【点睛】此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．6、A【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，∴△OA′B′∽△OAB，∴，∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7、C【分析】设火车的车长是x米，根据经过一条长400m的隧道需要30秒的时间，可求火车速度，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，可求火车上速度，根据车速相同可列方程求解即可．【详解】解：设火车的长度是x米，根据题意得出：=，解得：x=200，答：火车的长为200米；故选择C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．8、D【分析】首先利用勾股定理求得底面半径的长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面半径是：，则底面周长是：，则圆锥的侧面积是：．故选：D．【点睛】本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是由三视图得到立体图形，及记住圆锥的侧面面积公式．9、C【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y=2x2-3．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．10、B【分析】根据题意分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数，可发现是定值5，从而求得第101次操作后所有数之和为2+7+9+2022×5=10128．【详解】解：∵第一次操作增加数字：-2，7，第二次操作增加数字：5，2，-11，9，∴第一次操作增加7-2=5，第二次操作增加5+2-11+9=5，即，每次操作加5，第2022次操作后所有数之和为2+7+9+2022×5=10128．故选：B．【点睛】此题主要考查了数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值5．二、填空题1、132°【分析】连接AO、BO、CO，根据AB是⊙O的内接正六边形的一边，可得 ， ，从而得到∠ABO=60°，再由BC是⊙O的内接正十边形的一边，可得 ，BO=CO，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接AO、BO、CO，∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，∴ ， ，∴ ，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴ ，BO=CO，∴，∴∠ABC=∠ABO+ ∠CBO=60°+72°=132°．故答案为：132°【点睛】本题主要考查了圆的内接多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的内接多边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．2、36【分析】设∠BAC=x，依据旋转的性质，可得∠DAE=∠BAC=x，∠ADB=∠ABD=2x，再根据三角形内角和定理即可得出x．【详解】解：设∠BAC=x，由旋转的性质，可得∠DAE=∠BAC=x，∴∠DAC=∠DBA=2x，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=2x，△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠BAC=36°，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图形全等．3、【分析】作OA的垂直平分线，交OA于点C，y轴于点D．根据题意结合垂直平分线的性质可判断出当该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间时，在x>0的条件下，该函数图象上只存在唯一的点B，使为等腰三角形．再根据点A的坐标，即可求出直线CD的斜率，即可得出k的取值范围．【详解】如图，作OA的垂直平分线，交OA于点C，y轴于点D．由垂直平分线的性质可知，当点B在OA的垂直平分线上时，即满足为等腰三角形，但此时在该正比例函数上还有一点B可使为等腰三角形，如图，和都为等腰三角形，此时不符合只存在唯一的点B，使为等腰三角形，故要想只存在唯一的点B，使为等腰三角形，并在x>0的条件下，只能B点不在OA的垂直平分线上，即该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间．设OA的函数解析式为：，则解得：．设CD的函数解析式为：，∵CD在OA的垂直平分线上，∴，即，解得：．∵该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，一次函数和正比例函数的图像和性质，根据题意理解当该正比例函数图象在与OA的垂直平分线平行的直线（包括此直线）和y轴之间时，在x>0的条件下，该函数图象上只存在唯一的点B，使为等腰三角形是解答本题的关键．4、3【分析】由题意，先画出几何体的左视图，然后计算面积即可．【详解】解：根据题意，该几何体的左视图为：∴该几何体的左视图的面积为3；故答案为：3．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是正确的画出左视图．5、##【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝ ，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴ ·CD·EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tanC＝＝，∴ ＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造合适的直角三角形是解题的关键．三、解答题1、（1）6（2）3x-25【分析】（1）根据负指数，零次幂，绝对值的性质，可得答案；（2）利用平方差公式计算即可．（1）原式=2+1+3=6；（2）原式=．【点睛】本题考查了实数的运算及整式的混合运算，掌握负指数，零次幂，绝对值的性质，平方差公式是解题关键．2、（1）①；②；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）①由等腰直角三角形得，，故可求出；②过点M作于点，设，则，由，得是等腰直角三角形，得出，即可求出x的值，由勾股定理即可得出答案；（2）设与相交于点，由旋转得，根据SAS证明，由全等三角形的性质得，由得即，故可证；（3）设与相交于点，同（2）得，故，即可求．【详解】（1）①∵，都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴；②如图2，作于点，设，∵，，∴，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴；（2），证明如下：如图3，设与相交于点，由旋转可知：，∵，，∴，∴，∵，∴即，∴，∴；（3）如图4，设与相交于点，同（2）得，∴，．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点间的应用是解题的关键．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）方法一：先证明≌，可得，再证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论；方法二：先证明≌，可得，再证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论；方法三：证明从而可得结论；（2）如图，过作于 利用菱形的性质结合三角函数先求解菱形的对角线的长及菱形的面积，再利用 求解 从而可得答案.【详解】（1）方法一：∵四边形是平行四边形，∴∴又∵垂直平分，∴．．∴≌．∴．∴四边形是平行四边形．∵∴四边形是菱形．方法二：∵四边形是平行四边形，∴．∴又∵垂直平分，∴．．∴≌．∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．方法三：∵垂直平分，∴，∵四边形是平行四边形，∴．∴∴≌．∴．∴∴四边形是菱形．（2）如图，过作于 四边形是菱形． 则 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，菱形的性质，锐角三角函数的应用，掌握“选择合适的判定方法判断菱形及利用等面积法求解菱形的高”是解本题的关键.4、（1）75（2）①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．（1）解：∵∠AOB=45°，∠COD=60°，∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°，故答案为：75；（2）解：①当OB平分∠AOD时，∵∠AOE=α，∠COD=60°，∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COD=120°-α，∴∠AOB=∠AOD=60°-α=45°，∴α=30°，当OB平分∠AOC时，∵∠AOC=180°-α，∴∠AOB=90°-α=45°，∴α=90°；当OB平分∠DOC时，∵∠DOC=60°，∴∠BOC=30°，∴α=180°-45°-30°=105°，综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；②当OA在OD的左侧时，则∠AOD=120°-α，∠BOC=135°-α，∵∠BOC=2∠AOD，∴135°-α=2（120°-α），∴α=105°；当OA在OD的右侧时，则∠AOD=α-120°，∠BOC=135°-α，∵∠BOC=2∠AOD，∴135°-α=2（α-120°），∴α=125°，综上所述，当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．5、（1）在乙商家购买会更便宜（2）第一次购买140个花球，第二次购买210个花球【分析】（1）利用总价=单价×数量，结合两个商家的优惠条件，即可分别求出在两个商家购买所需费用，比较后可得出在乙商家购买会更便宜；（2）设第一次购买m个花球，则第二次购买（350-m）个花球，分0＜m≤100，100＜m≤150及150＜m＜175三种情况考虑，根据两次购买共花费6140元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出第一次购买花球的数量，再将其代入（350-m）中即可求出第二次购买花球的数量．【小题1】解：在甲商家购买所需费用为：20×0.95×50+20×0.88×（100-50）=20×0.95×50+20×0.88×50=950+880=1830（元）；在乙商家购买所需费用为20×0.9×100=1800（元）．∵1830＞1800，∴在乙商家购买会更便宜．【小题2】设第一次购买m个花球，则第二次购买（350-m）个花球．当0＜m≤100时，20×0.9m+20×0.9×100+20×0.85×（200-100）+20×0.8（350-m-200）=6140，解得：m=120（不合题意，舍去）；当100＜m≤150时，20×0.9×100+20×0.85（m-100）+20×0.9×100+20×0.85×（200-100）+20×0.8（350-m-200）=6140，解得：m=140，∴350-m=350-140=210；当150＜m＜175时，20×0.9×100+20×0.85（m-100）+20×0.9×100+20×0.85（350-m-100）=6150≠6140，∴不存在该情况．答：第一次购买140个花球，第二次购买210个花球．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．