高考数学(理数)二轮复习高考大题专项练06《导数》AB卷（学生版）

六　导数(A)

1.设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”

(1)判断函数f(x)=+是否是集合M中的元素,并说明理由;

(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:“若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n] D,都存在x0∈[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x0)成立”.试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根;

(3)设x1是方程f(x)-x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2-x1|<1且|x3-x1|<1时,|f(x3)-f(x2)|<2.

2.已知x=是函数f(x)=(x+1)eax(a≠0)的一个极 值点.

(1)求a的值;

(2)求f(x)在[t,t+1]上的最大值;

(3)设g(x)=f(x)+x+xln x,证明:对任意x1,x2∈(0,1),有|g(x1)- g(x2)|<+.

3.设函数f(x)=-a2ln x+x2-ax(a∈R).

(1)试讨论函数f(x)的单调性;

(2)如果a>0且关于x的方程f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2),证明x1+x2>2a.

4.已知函数f(x)=ln (x+1).

(1)当x∈(-1,0)时,求证:f(x)<x<-f(-x);

(2)设函数g(x)=ex-f(x)-a(a∈R),且g(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),

①求实数a的取值范围;②求证:x1+x2>0.

六　导数(B)

1.已知函数f(x)=ln (x+a)-x(a∈R),直线l:y=-x+ln 3-是曲线y=f(x)的一条切线.

(1)求a的值;

(2)设函数g(x)=xex-2x-f(x-a)-a+2,证明:函数g(x)无零点.

2.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x.

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;

(2)对一切x∈(0,+∞),af′(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.

3.已知函数f(x)=a(x2-x+1)(ex-a)(a∈R且a≠0).

(1)若a=1,求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;

(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥x3-x2+x,求a的取值范围.

4.已知函数f(x)=ex-x2-ax有两个极值点x1,x2(e为自然对数的底数).

(1)求实数a的取值范围;

(2)求证:f(x1)+f(x2)>2.