高考数学(理数)二轮复习高考大题专项练01《三角函数与解三角形》AB卷（教师版）

一　三角函数与解三角形(A)

1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知C=2A,cos A=,·=.

(1)求cos B的值;

(2)求b的值.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.

(1)求角C的大小;

(2)若sin A=,求△ABC的面积.

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos A=,tan(B-A)=.

(1)求tan B的值;

(2)若c=13,求△ABC的面积.

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bsin A=c.

(1)求角A的大小;

(2)若a=,△ABC的面积为,求b+c的值.

一　三角函数与解三角形(B)

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.

(1)求B;

(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.

(1)求证:c=2b;

(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).

(1)求A;

(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.

4.已知△ABC中,AC=4,BC=4,∠ABC =.

(1)求角A和△ABC的面积;

(2)若CD为AB上的中线,求CD2.

参考答案A卷

1.解:(1)因为C=2A,cos A=,

所以cos C=cos 2A=2cos2A-1=2×2-1=.

因为0<A<π,0<C<π,

所以sin A==,sin C==.

所以cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)

=-(cos Acos C-sin Asin C)=.

(2)因为·=,

所以accos B=,

所以ac=24,

因为=,

所以a=c.

由解得

所以b2=a2+c2-2accos B=42+62-2×24×=25.

所以b=5.

2.解:(1)由题意得-

=sin 2A-sin 2B,

即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,

sin(2A-)=sin(2B-),

由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),

得2A-+2B-=π,

即A+B=,

所以C=.

(2)由c=,sin A=,=,

得a=,由a<c,得A<C,从而cos A=,

故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.

所以△ABC的面积为S=acsin B=.

3.解:(1)在△ABC中,由cos A=,得A为锐角,

所以sin A=,

所以tan A==,

所以tan B=tan[(B-A)+A]===3.

(2)在三角形ABC中,由tan B=3,

得sin B=,cos B=,

由sin C=sin(A+B)

=sin Acos B+cos Asin B

=,

由正弦定理=,得b===15,

所以△ABC的面积S=bcsin A=×15×13×=78.

4.解:(1)在△ABC中,acos B+bsin A=c,

由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,

又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,

所以sin Bsin A=cos Asin B,

又sin B≠0,

所以sin A=cos A,

又A∈(0,π),

所以tan A=1,A=.

(2)由S△ABC=bcsin A=bc=,

解得bc=2-,

又a2=b2+c2-2bccos A,

所以2=b2+c2-bc=(b+c)2-(2+)bc,

所以(b+c)2=2+(2+)bc=2+(2+)(2-)=4,

所以b+c=2.

参考答案B卷

1.解:(1)由已知及正弦定理得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①

又A=π-(B+C),故

sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②

由①②和C∈(0,π)得sin B=cos B,

又B∈(0,π),所以B=.

(2)△ABC的面积S=acsin B=ac.

由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.

又a2+c2≥2ac,

故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.

因此△ABC面积的最大值为+1.

2.(1)证明:△ABC中,由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,

得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,

展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,

又因为B≠,所以cos B≠0,

所以sin C=2sin B,

由正弦定理得,c=2b.

(2)解:因为△ABC的面积为S=5b2-a2,

所以有bcsin A=5b2-a2,

由(1)知c=2b,

代入上式得b2sin A=5b2-a2,①

又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,

代入①得b2sin A=4b2cos A,

所以tan A=4.

3.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,

则=,即cos A=,

由于0<A<π,

所以A=.

(2)根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc,

所以b2+c2=16+bc≤16+,

当且仅当b=c时取等号,则有b2+c2≤32,

又b2+c2=16+bc>16,

所以b2+c2的取值范围是(16,32].

4.解:(1)由=,

得sin∠BAC=,

又BC<AC,则∠BAC<,

解得∠BAC=.

所以∠ACB=,

所以△ABC的面积S=×4×4×sin=4(+1).

(2)设AB=x,则在△ABC中,

由余弦定理得32=x2+16-8xcos,

即x2-4x-16=0,

解得x=2+2(舍负),

所以BD=+.

在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos=16-4.