高考数学(文数)二轮复习大题分层练01《三角数列概率统计立体几何》A组（教师版）

大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A组)

1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.

(1)求△ABC的面积.

(2)若c=1,求a的值.

【解析】(1)cos A=2cos2-1=2×-1=,

又A∈(0,π),sin A==,

而·=||·||·cos A=bc=3,所以bc=5,

所以△ABC的面积为:bcsin A=×5×=2.

(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5,

所以a===2.

2.已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式.

(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.

【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,

依题意得解得d=1,q=2,

所以an=1+(n-1)=n,bn=1×2n-1=2n-1.

(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,则

Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1　①

2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n　②

①-②得:-Tn=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1.

所以Tn=(n-1)·2n+1.

3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:①绿色环保;

②经济实惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了n位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如图表.

(1)分别求出n,a,b的值.

(2)若从样本中年均用气量在[50,60](单位:立方米)的5位居民中任选2人作进一步的调查研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5位居民的年均用气量均不相等).

【解析】(1)用气量在[20,30)内的频数是50,频率是0.025×10=0.25,

则n= =200.

用气量在[0,10)内的频率是=0.125,则b==0.012 5.

用气量在[50,60]内的频率是=0.025,则a==0.002 5.

(2)设A,B,C,D,E代表用气量从多到少的5位居民,从中任选2位,总的基本事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个;包含A的有AB,AC,AD,AE共4个,所以P==.

4. 如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD.点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.

(1)求证:平面PAD⊥平面PCD.

(2)若直线PC与AB所成角的正切值为,设AB=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,

则MN∥CD,MN=CD,

又因为AB∥CD,AB=CD,

所以MN∥AB,MN=AB,

则四边形ABMN为平行四边形,所以AN∥BM,

又BM⊥平面PCD,

所以AN⊥平面PCD,

又因为AN⊂平面PAD,

所以平面PAD⊥平面PCD.

(2)取AD的中点O,连接PO,

因为AN⊥平面PCD,

所以AN⊥PD,AN⊥CD.

由ED=EA即PD=PA及N为PD的中点,可得△PAD为等边三角形,

所以∠PDA=60°,PO⊥AD,

又∠EDC=150°,所以∠CDA=90°,所以CD⊥AD,

所以CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD,

所以平面PAD⊥平面ABCD.

所以AD=平面PAD∩平面ABCD,

PO⊂平面PAD,PO⊥AD,

所以PO⊥平面ABCD,

所以PO是四棱锥P-ABCD的高.

因为AB∥CD,所以∠PCD为直线PC与AB所成的角,

由(1)可得∠PDC=90°,所以tan∠PCD==,

所以CD=2PD,

由AB=1,可知CD=2,PA=AD=AB=1,

则VP-ABCD=PO·S四边形ABCD=.