高考数学(文数)二轮复习大题分层练07《解析几何函数与导数》C组（教师版）

大题分层练(七)解析几何、函数与导数(C组)

1.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).

(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值.

(2)求f(x)的单调区间.

(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求

a的取值范围.

【解析】f′(x)=ax-(2a+1)+(x>0).

(1)由题意知f′(1)=f′(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+,解得a=.

(2)f′(x)=(x>0).

①当a≤0时,因为x>0,所以ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,

故f(x)的单调递增区间是(0,2),

单调递减区间是(2,+∞).

②当0<a<时,>2,在区间(0,2)和上,f′(x)>0;在区间上,

f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.

③当a=时,f′(x)=≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).

④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间上,

f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.

(3)由题意知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.由已知得g(x)max=0,由(2)可知,

①当a≤时,f(x)在(0,2]上单调递增,

故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,

所以-2a-2+2ln 2<0,解得a>ln 2-1,

故ln 2-1<a≤.

②当a>时,f(x)在上单调递增;在上单调递减,

故f(x)max=f =-2--2ln a.

由a>可知ln a>ln >ln =-1,所以2ln a>-2,即-2ln a<2,所以-2-2ln a<0,

所以f(x)max<0,综上所述,a>ln 2-1.

2.如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.

【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=3,圆M的圆心坐标为M(3,1),半径r=.由A(0,1),F(c,0)(c=)得直线AF:+y=1,即x+cy-c=0.

由直线AF与圆M相切,得=.

所以c=或c=-(舍去).所以a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,

由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0),

将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,

解得x=0或x=-,

因此P的坐标为,即.

将上式中的k换成-,得Q.

所以直线l的方程为y=+,

化简得直线l的方程为y=x-.因此直线l过定点N.