高考数学(文数)二轮复习大题专项练03《立体几何》AB卷（教师版）

三　立体几何(A)

1.如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,若∠PDA=45°,

(1)求证:MN∥平面PAD;

(2)求证:MN⊥平面PCD.

2.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,E为PA的中点,∠BAD=60°.

(1)求证:PC∥平面EBD;

(2)求三棱锥PEDC的体积.

3.如图,已知AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,SO=2,AB=4,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点, ∠AOC=60°.

(1)求圆锥的侧面积;

(2)求直线PC与底面所成的角的大小.

4.在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.

(1)求证:AC⊥平面FBC;

(2)求四面体FBCD的体积;

(3)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?证明你的结论.

三　立体几何(B)

1.如图所示,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC,∠DAB=∠ABP=90°.

(1)求证:AD⊥平面PAB;

(2)求证:AB⊥PC;

(3)若点E在棱PD上,且CE∥平面PAB,求的值.

2.已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.

(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;

(2)求三棱锥EABC的体积.

3.如图,在△PBE中,AB⊥PE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且AC=,AB=AP=AE=2,将△PBA沿AB折起使得二面角PABE是直二面角.

(1)求证:CD∥平面PAB;

(2)求三棱锥EPAC的体积.

4.如图,在Rt△ABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EF∥BC,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置,使得二面角PEFB的大小为60°.

(1)求证:EF⊥PB;

(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时,求四棱锥PEBCF的侧面积.

参考答案A卷

1.证明:(1)如图,取PD的中点E,连接AE,NE.

因为E,N分别为PD,PC的中点,

所以ENCD,

又M为AB的中点,ABCD,

所以AMCD,

所以ENAM,

所以四边形AMNE为平行四边形.

所以MN∥AE,

又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,

所以MN∥平面PAD.

(2)因为PA⊥平面ABCD,∠PDA=45°,

所以△PAD为等腰直角三角形,

又E为PD的中点,

所以AE⊥PD,

可证得CD⊥PA,

又因为CD⊥AD,AD∩PA=A,

所以CD⊥平面PAD,

因为AE⊂平面PAD,

所以CD⊥AE,

又CD∩PD=D,

所以AE⊥平面PCD,

又MN∥AE,

所以MN⊥平面PCD.

2.(1)证明:设AC与BD相交于点O,连接OE.

由题意知,底面ABCD是菱形,则O为AC的中点,

又E为AP的中点,

所以OE∥CP,

因为OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,

所以PC∥平面BDE.

(2)解:因为E为PA的中点,

所以S△PCE=S△PAC=××2×2=,

因为四边形ABCD是菱形,

所以AC⊥BD,

又因为PA⊥平面ABCD,

所以PA⊥BD,

又PA∩AC=A,

所以DO⊥平面PAC,

即DO是三棱锥DPCE的高,DO=1,

则==××1=.

3.解:(1)因为AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,SO=2,AB=4,

所以底面半径r==2,

母线长l=SA===4,

所以圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π.

(2)过点P作PE⊥AB,交AO于E,由已知得PE⊥圆锥底面,

连接CE,则CE为PC在底面上的射影,

所以∠PCE是直线PC与底面所成的角.

由于OA=OC,∠AOC=60°,

所以CE⊥AO.

在Rt△PEC中,

PE=SO=,CE==.

所以∠PCE=,

所以直线PC与底面所成的角为.

4.(1)证明:在△ABC中,

因为AC=,AB=2,BC=1,

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

又因为AC⊥FB,FB∩BC=B,

所以AC⊥平面FBC.

(2)解:因为AC⊥平面FBC,

所以AC⊥FC.

因为CD⊥FC,

且CD∩AC=C,

所以FC⊥平面ABCD.

在Rt△ACB中,BC=AB,

所以∠CAB=30°,

所以在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°,

所以CB=DC=1,∠BCD=120°,

所以FC=1.

所以△BCD的面积S=×12×sin 120°=.

所以四面体FBCD的体积为=S·FC=.

(3)解:线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM,证明如下:

连接CE与DF交于点N,取AC中点M,连接MN,DM,FM.

由于平面CDEF为正方形,所以N为CE中点.

所以EA∥MN.

因为MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,

所以EA∥平面FDM.

所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立.

参考答案B卷

1.(1)证明:因为∠DAB=90°,所以AD⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABCD.

且平面PAB∩平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB.

(2)证明:由已知得AD⊥AB,

因为AD∥BC,所以BC⊥AB.

又因为∠ABP=90°,所以PB⊥AB.

因为PB∩BC=B,

所以AB⊥平面PBC,

所以AB⊥PC.

(3)解:过E作EF∥AD交PA于F,连接BF.

因为AD∥BC,所以EF∥BC.

所以E,F,B,C四点共面,

又因为CE∥平面PAB,

且CE⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面PAB=BF,

所以CE∥BF,

所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF=BC.

在△PAD中,因为EF∥AD,

所以===.即=.

2.解:(1)因为平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.

所以过E作EQ⊥平面BCD,交CD于Q,过A作AP⊥平面BCD,交BC     于P,

所以EQ∥AP,过Q作QO∥BC,交BD于O,连接EO,

则直线OQ就是在平面BCD内所求的直线,使得直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.

证明如下:

因为EQ∥AP,QO∥BC,

EQ∩QO=Q,AP∩BC=P,EQ,QO⊂平面EQO,AP,BC⊂平面ABC,

所以平面EQO∥平面ABC,

所以直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.

(2)因为△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,

所以AP==2,

所以S△ABC=×2×2=2,

由(1)知平面EQO∥平面ABC,

所以E到平面ABC的距离为OQ中点到平面ABC的距离,

所以,点E到平面ABC的距离d=DP==,

所以三棱锥EABC的体积=×d×S△ABC=××2=.

3.(1)证明:因为AE=2,所以AE=4,

又AB=2,AB⊥AE,

所以BE===2,

又因为AC==BE,

所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线,所以C是BE的中点,

又因为D是AE的中点,

所以CD∥AB,

又因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.

(2)解:由(1)可证CD⊥平面PAE,CD=AB=1,

因为二面角PABE是直二面角,平面PAB∩平面ABE=AB,PA⊂平面PAB,PA⊥AB,

所以PA⊥平面ABE,

又因为AP=2,

所以==××AE×CD×AP=××4×1×2=.

4.(1)证明:因为AB=BC=3,

所以BC⊥AB,

又EF∥BC,

所以EF⊥AB,从而EF⊥PE,EF⊥BE,

又PE∩BE=E,

所以EF⊥平面PBE,

又PB⊂平面PBE,所以EF⊥PB.

(2)解:因为EF⊥PE,EF⊥BE,

所以∠PEB为二面角PEFB的平面角,即∠PEB=60°,

又E为AB的靠近B点的三等分点,AB=3,

所以PE=2,BE=1,

在△PBE中,由余弦定理得

PB==,

由于PB2+EB2=PE2,

所以PB⊥EB,

PB,BC,BE两两垂直,又EF⊥PE,EF⊥BE,

所以△PBE,△PBC,△PEF均为直角三角形,

又==,

所以EF=2,

所以S△PBC=BC·PB=,S△PBE=PB·BE=,S△PEF=EF·PE=2,

在四边形BCFE中,过点F作BC的垂线,垂足为H,

则FC2=FH2+HC2=12+12=2,

所以FC=.

又PF==2,PC==2,

所以cos ∠PFC==-,

故为sin ∠PFC=,

所以S△PFC=PF·FCsin ∠PFC=,

所以四棱锥的侧面积为S△PBC+S△PBE+S△PEF+S△PFC=2+2+.