甘肃省酒泉市青海油田第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

油田一中2020-2021-2高二期中考试试题

                科目:(理科）数学

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题

1．4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一种运动队，

则不同的报法有多少种？                     （     ）

  A.64          B.12           C.7            D.81

2. 若，则x的值为（　　）

A．4 B．4或5 C．6 D．4或6

3. 设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q等于(　　)

A．1     B．1±              C．1－     D．1＋

4. 若随机变量X～B（4，），则D（2X+1）＝（　　）

A．2 B．4 C．8 D．9

5. 设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）曲线如图所示，则有（　　）

6．的展开式中的系数为(     )

A．10   B．20   C．40   D．80

7.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球  中恰有1个白球，1个红球的概率为（  ）

A．1               B.                   C.                 D.

8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(    )

9. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，

根据一组样本数据（xi，yi）（i=1， 2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0．85x85.71，则下列结论中不正确的是         (       )

A．y与x具有正的线性相关关系  

B．回归直线过样本点的中心（，）

C．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

D．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

10. ．如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（B|A）＝（　　）

A． B． C． D．

11. 一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（　 　）

A．（）10（）2 B．（）9（）2（） 

C．（）9（）2 D．（）10（）2

12.．随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值（　　）

A．0 B．1 

C．2 D．无法确定，与a，b有关

第Ⅱ卷

一．    选择题（60分）。

二、填空题（每小题4分，共20分）

13. 展开式中，二项式系数最大的项是　   　．
14.   用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的4位数，其中偶数的个数为

15. 甲乙两人组队参加答题大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题，已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为，甲、乙在答题这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为　   　．
16. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有__________种

三．    解答题（70分）

17.已知（x）n  的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是28：1．

（1）求展开式中各项系数的和；

（2）求展开式中含  的项．

18.某次文艺晚会上共演出7个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，2个曲艺节目，求分别满足

下列条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）

（1）一个歌曲节目开头，另一个歌曲节目放在最后压台；

（2）2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻．

19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过 的工人数填入下面的列联表：

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：，

20．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程x 

（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）

参考公式：，．

21.在2021年3月份的高二期中考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间， 现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求全市数学成绩在135分以上的人数.

（2）求a的值，若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．

附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．

22. 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

油田一中2020-2021(下）高二期中试题答案

 科目:(理科）数学

一．选择

二．填空

13.     14. 156      15. 3/8      16. 26

16. 解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，

①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22＝2种，

当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，

故有2+5＝7种，

②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22＝2种，

当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，

故有2+5＝7种，

③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A22＝6种，

若没有人使用现金，则有C32A22＝6种，

故有6+6＝12种，

根据分步计数原理可得共有7+7+6+6＝26种，

17．解：（1）根据题意，分2步进行分析：

①，要求2个歌曲节目1个在开头，另一个在最后，有A22＝2种安排方法，

②，将剩下的5个节目全排列，安排在中间，有A55＝120种安排方法，

则一共有2×120＝240种安排方法；

（2）根据题意，分3步进行分析：

①，2个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有A22＝2种情况，

②，将这个整体与3个舞蹈节目全排列，有A44＝24种情况，排好后有5个空位，

③，在5个空位中任选2个，安排2个曲艺节目，有A52＝20种情况，

则一共有2×24×20＝960种安排方法．

18. 解：（1）∵展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是28：1，

∴，

∴n＝8，

∴取x＝1得到各项系数和为1．

（2）∵这个二项式的展开式是，

要求含的项，只要使得x的指数等于﹣1，

∴含的项为．

19. (1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

(2)由茎叶图知．

列联表如下：

(3)由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

20. 解：（Ⅰ），，

，，

，，

∴，．

∴y关于x的线性回归方程为．

（Ⅱ）z＝x（8.69﹣1.23x）﹣2x＝﹣1.23x2+6.69x．

所以x＝2.72时，年利润z最大．

21．解：（1）全市数学成绩在135分以上的频率为0.08，以频率作为概率，

可得全市数学成绩在135分以上的人数为10000×0.08＝800人；

由频率分布直方图可知[125，135）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）＝0.12，

（3）由于＝0.0013，根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）＝0.9974，

故P（X≥135）＝＝0.0013，即0.0013×10000＝13．

∴前13名的成绩全部在135分以上．

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08＝4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）＝10．

∴X的取值为0，1，2，3．

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝．

∴X的分布列为

数学期望值为EX＝0×+1×+2×+3×＝1.2．

22.解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

p3＝P(X>120)＝＝0.1.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．

①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝ p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.

③安装3台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：

所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．