黑龙江省齐齐哈尔三立高级中学有限公司2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

三立高级中学2020-2021学年度下学期期中考试题

高  二  数 学（文 科）

 第I卷（选择题）   

一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．     C．     D．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．2        B．         C．         D．

3．在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（    ）

A．    B．     C．    D．

4．已知集合， ，若，则实数m的取值范围是（ ）

A．    B．     C．     D．

5．极坐标方程化为直角坐标方程是（    ）

A．   B．  C．  D．

6．直线与曲线(为参数)的交点个数为（    ）

A．1          B．2              C．3          D．4

7．如表是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为（    ）

A．94，72     B．52，50      C．52，74      D．74，52

8．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应相关指数为（   ）

A．       B．       C．       D．

9．若由一个列联表中的数据计算得，那么有（    ）把握认为两个变量有关系.

A．      B．     C．     D．

10．在极坐标系中，点到直线的距离（    ）

A． B． C．1 D．2

11．经过对x2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当x2<2.706时，我们认为事件A与B（    ）

A．有95%的把握认为A与B有关系

B．有99%的把握认为A与B有关系

C．没有充分理由说明事件A与B有关系

D．不能确定

12．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：

则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（    ）

附：参考公式和临界值表

A．90%     B．95%     C．99%      D．99.9%

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．设集合，且，则实数的取值范围是____.

14．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.

15．已知圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+4cosθ，则圆心的直角坐标为_____．

16．把参数方程（为参数，）化成普通方程是____．

三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17．已知集合，且．

（1）若，求m，a的值．

（2）若，求实数a组成的集合．

18．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：

（1）通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)

（2）根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：

现已从高一､高二两个年级成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出位同学参加座谈会，要再从这位同学中任意选出人发言，求这人来自不同年级的概率.

19．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：

（Ⅰ）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

（Ⅱ）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．

参考公式：相关系数．

线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，．

参考数据：，，．

20．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为－2cos=3．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与相交于两点，求的值．

21．春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图．

（1）从年龄段在的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP的概率；

（2）若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP，填写下列联表，并作出判断．

参考数据：

，其中．

22．已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），

以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；

（2）已知过原点的直线与曲线仅有1个交点，若与曲线也仅有1个交点，求点的极坐标．

参考答案

1．C

【分析】

根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果.

【详解】

因为，所以，

所以复数的虚部为.

故选：C

2．B

【分析】

根据组合数公式计算结果.

【详解】

由，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍)．

故选：B

3．D

【分析】

直接利用导数求切线斜率即可.

【详解】

设切线的斜率为，由，则，则有.

故选：D.

4．B

【分析】

根据极值与导数的关系判断．

【详解】

由知，时，，时，，时，，是极值点．虽然有，但在7的两侧，，7不是极值点．

故选：B．

5．D

【分析】

先求解出的解析式，然后根据的取值正负判断出的单调递增区间.

【详解】

因为，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

所以的单调递增区间为：和，

故选：D.

6．C

【分析】

分两步,第一步先排第一排,第二步再排第二排,然后利用分步乘法计数原理求解

【详解】

解：由于6人排两排，先排第一排共有6×5×4=120(种)，再排第二排，共有3×2×1=6(种).由分步乘法计数原理可知，共有120×6=720(种)方法.

故选：C

7．B

【分析】

依题意可得即可求出参数的值，再求出函数的导函数，求出函数的单调区间，列出表格即可求出函数在给定的区间上的最小值；

【详解】

解:由题意可得．由，解得，经检验得时，有极大值，所以，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最小值为．

故选：B

8．B

【分析】

先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.

【详解】

由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：，

所以不同的排法有种.

故选：B.

9．B

【分析】

首先对函数求导，利用导函函数求单调性，判断极值点的个数，再利用当时，恒成立，利用排除法可得正确选项.

【详解】

，

令，解得：或，

令，解得：，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，

当时，，，所以恒为正，排除选项C，

即只有选项B符合要求，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

10．C

【分析】

通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用的指数为2，求出展开式中的系数．

【详解】

展开式的通项为．

令得到展开式中的系数是．

故选：C．

11．C

【分析】

当时，利用导数确定函数函数有两个零点从而可得在上无解，讨论的取值，确定方程在上无解，即可.

【详解】

因为函数有2个零点，

则有2个解，

当时，，，

令得，所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，又，

当时，的图象与直线有2个交点，

当时，则与直线无交点，

即在上无解，

即在上无解，

当时，符合题意，

当时，与的负半轴始终交点，不符合题意，

当时，若在上无解，

则，即，所以，

综上知：，即的取值范围是.

故选：C

12．D

【分析】

构造函数，由，结合已知条件知的区间单调性，进而得到在上恒负，在上恒正，即可求解函数不等式的解集.

【详解】

，

在为减函数，而，

∴在上，；在上，；而，

∴在上，又函数为奇函数，

∴在上.

不等式等价于或，

∴.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：

（1）构造，由已知条件知在为单调递减且.

（2）由在、的符号及，得到在上恒负.

（3）由奇偶性判断在定义域上的符号.

（4）由函数不等式求解集即可.

13．

【分析】

直接利用微积分的基本定理求解.

【详解】

，

故答案为：

14．3600

【分析】

由题可得恰有两个空座位相邻，即有1个空位与这2个空位不相邻，则可将2个相邻空位捆绑在一起，与另一个空位进行插空.

【详解】

由题可得恰有两个空座位相邻，即有1个空位与这2个空位不相邻，则可将2个相邻空位捆绑在一起，与另一个空位进行插空.

分两步进行：

先将5人全排列，有种情况，

将“两个”空位进行插空，有种情况，

则恰有两个空座位相邻的不同坐法有种.

故答案为：3600.

15．

【分析】

先求出复数，计算出后可求的值.

【详解】

因为，故，所以，

故，故，

故答案为：.

16．1或9

【分析】

利用二项展开式的通项公式以及多项式相乘得出－a2＋10a－10＝－1，解方程即可求解.

【详解】

解析：由于(x＋a)2＝x2＋2ax＋a2，而5的展开式通项为

Tk＋1＝(－1)k·xk－5，其中k＝0，1，2，…，5．

于是的展开式中x－2的系数为(－1)3＝－10，

x－1项的系数为(－1)4＝5，常数项为－1．

因此(x＋a)2的展开式中常数项为1×(－10)＋2a×5＋a2×(－1)＝－a2＋10a－10，

依题意－a2＋10a－10＝－1，即a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9．

故答案为：1或9.

17．（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）利用二项式定理可得出展开式第项的二项式系数为；

（2）利用二项式定理可得出展开式第项的系数为；

（3）利用二项式定理可得出展开式的第项.

【详解】

的展开式通项为，

其中且.

（1）展开式中第项的二项式系数为；

（2）展开式中第项的系数为；

（3）展开式的第项为.

18．（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720

【分析】

（1）根据排列的定义进行求解即可；

（2）运用分步计数原理，结合排列的定义进行求解即可；

（3）运用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可；

（4）运用插空法，结合排列的定义进行求解即可；

（5）法一：运用特殊元素优先法，结合排列的定义进行求解即可；

法二：运用特殊位置优先法，结合排列的定义进行求解即可；

（6）法一：运用特殊元素优先法，结合排列的定义进行求解即可；

法二：运用间接法，结合排列的定义进行求解即可.

【详解】

（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种).

（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种).

（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).

（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1 440(种).

（5）法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种).

法二　(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3 600(种).

（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有＋＝3 720.

法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3 720(种).

19．

【分析】

利用组合数的性质即可计算.

【详解】

由组合数的性质可得.

20．

【分析】

由排列数公式和组合数公式即可求解.

【详解】

由得，，解得.

21．（1）单调递增区间是；（2）.

【分析】

（1）求导函数，令导函数大于零，解不等式得解.

（2）构造新函数，判断新函数的单调性，由单调性建立符合满足题设的不等式，进而可得参数范围.

【详解】

（1）函数在定义域是.

因为，

令，又，得，

所以函数的单调递增区间是

（2）由，得

令

则

由，得，

由，得，

所以函数在内单调递减，在内单调递增，

由题可知方程在区间内恰有2个相异的实根，

则，即，

由

解得，

综上所述，实数a取值范围是.

【点睛】

思路点睛：方程根的个数转化为函数单调性探究，以及最值的符号讨论.

22．（1）0；（2）.

【分析】

（1）依题意得，解方程即可；

（2）原方程化为，令，求导分析单调性，求值域即可求的取值范围．

【详解】

（1），，

∵函数在点处取得极值，，

即当时，，

，解得，经检验符合题意；

（2），，.

令，则.

∴当时，，随的变化情况如下表：

计算得，，，，

所以的取值范围为．

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

23．（1）；（2）证明见解析．

【分析】

（1）设切点，由，解方程即可求得结果；

（2）利用分析法可知，要证对恒成立，通过化简变形可知只需证明对恒成立，构造函数,求得可知函数为增函数,所以只需证明即可，再次构造函数,利用导数求得最值即可证得结果.

【详解】

（1）设直线与相切于点，

则，解得：，，；．

（2）要证对恒成立；

只需证：对恒成立；

即证:对恒成立；

两边同时加，即证,对恒成立；

即证:,对恒成立；

设，则，∴是增函数

只需证:，即对恒成立；

设，则，

∴在单减，在单增，

∴，所以当时，成立．

∴当时，当时，恒成立.

【点睛】

关键点睛：本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题的关键点将证明问题变形为对恒成立,对函数求导判断出单调性和最值，可得命题成立.