内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

2020——2021学年度下学期期中考试

高二数学试题（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意：1．答卷前，将姓名、考号填在答题卡的密封线内。

2．答案必须写在答题卡上，在试题卷上答题无效。

一、选择题（每题5分）

1．已知为虚数单位，若复数满足，则复数的共轭复数（  ）

A．  B．    C． D．

2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有(　　)

A．1×2×3   B．2×3×4    C．34   D．43

4．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．已知函数，则(   )

A．    B．e    C．    D．1

6．观察：，

则（  ）

A．28 B．76 C．123 D．199

7．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝(　　)

A．    B．    C．    D．

8、=(    )

A．         B．       C．        D．

9、为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（    ）

A．36    B．20    C．18 D．12

10．函数，则（　　）

A．为函数的极大值点    B．为函数的极小值点

C．为函数的极大值点     D．为函数的极小值点

11、如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（     ）

A．72 B．96   C．108   D．120

12. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（   ）.

A.8   B.6   C.-8  D.-6

二、填空题（每题5分）

13．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有         .

14．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；

③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科.

可以判断乙在______________（3分）教的学科是______________（2分）.

15.由曲线与直线所围成的图形面积为           .

16．若函数在是增函数，则的取值范围是________

三、解答题（共70分）

17．(本题10分) 实数m取怎样的值时，复数是：

（1）实数（2）纯虚数

18（本题12分）7人排成一排照相，按下列情况各有多少种不同的排法？

（1）甲、乙、丙3人相邻

（2）甲、乙、丙3人不相邻

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC， BAD=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

（Ⅰ）求证：PB⊥DM；

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成角的余弦

20．已知函数．若图象上的点处的切线斜率为－4.

（1）求a、b的值.

(2)求的极大值

21．如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（1）求证：⊥

（2）若，，为的中点，求二面角的平面角的余弦值

22．已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若在区间上恒成立，求的最大值.

高二理科数学答案:

1.C

2. 【答案】D

 3. 解析：完成这件事分三步．第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.

4. 【答案】B

5. 【答案】C

6.答案B

7. 【答案】C

8.B〖解答〗函数的原函数为，由微积分基本定理得

故选择

9. 答案A

解析先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.

详解：由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有种分配方法，

故选：A.

10. 【答案】A

【解析】

，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．

11、答案B

解析若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3＝72种涂色法；若1,3同色，有＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．

12. 答案A

13.解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)

【答案】 沈阳 C

14.【解析】

由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科.

15.答案

16.【答案】a≥3由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．

∵函数y＝－2x在上为减函数，∴ymax＜，

∴a≥3.经检验，当a＝3时，满足题意．

17. 【答案】（1）或；（2）且；（3）或

【解析】

（1）当，即或时，的虚部等于0，

所以当或时，为实数；

（2）当时，即或时，为纯虚数.

18. 答案（1）720；（2）1440

（2）可先排其余4人，再利用插空法排甲、乙、丙.

详解：（1）将甲、乙、丙3人看作一个整体，与其余4人全排列，有种排法，而甲、乙、丙3人有种排法，故共有=720种不同的排法；

（2）可先排其余4人，然后再将甲、乙、丙排在已排好的4人之间及两端的5个空隙中，故共有=1440种不同的排法.

19. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析。

【解析】

【分析】

（Ⅰ）建立空间坐标系求得直线的方向向量，证得向量点积为0即可；（Ⅱ）求面的法向量和直线的方向向量再由向量的夹角公式得到结果.

【详解】

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1，则

A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，，1），D（0，2，0）。

（Ⅰ）因为

=0，所以PB⊥DM。

（Ⅱ）因为=0，

所以PB⊥AD，

又因为PB⊥DM，

所以PB⊥平面ADMN。

因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角

因为，

所以

20. 【解析】

试题分析：

由题已知点处的切线斜率为，可获得两个条件；即：函数图像过点，且该点处的导数为。可得两个方程，求出的值，再由求出的函数解析式，可运用导数求出函数的单调区间和极值。即：为函数的增区间，反之为减区间。再判断出极值。

试题解析：

（1）∵f′（x）＝x2＋2ax－b，

∴由题意可知：f′（1）＝－4且f（1）＝

即

解得

（2）f（x）＝x3－x2－3x，

f′（x）＝x2－2x－3＝（x＋1）（x－3）．

令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3.

由此可知，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

∴当x＝－1时，f（x）取极大值.

考点：导数的几何意义及运用导数求函数的单调区间及极值。

21. 【答案】（1）证明：见解析；（2）．

【解析】

试题解析：（1）证明：三棱柱为直三棱柱，

平面，又平面，

-平面，且平面，

． 又平面,平面,，

平面，

又平面，

（2）由（1）知平面，平面,从而

如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面，其垂足落在直线上,

．

在中，，AB=2，

,

在直三棱柱中，．

在中，,

则（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,

（0，2，2）

设平面的一个法向量

则即可得

设平面的一个法向量

即可得

所以

二面角平面角的余弦值是12分

（2）或在中，，AB=2,则BD=1 可得D（

二面角平面角的余弦值是12分

22. 【答案】（1）当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；

当时，的单调递减区间是（2）1

【解析】

试题解析：（1）.

当时，，在内单调递增；

当时，由得：；

当时，由得：.

综上所述，当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；

当时，的单调递减区间是.

（2）因为 在区间上恒成立，即在区间上恒成立.                                                       

所以 在区间上恒成立.

因为 ，

所以 .

所以 .

所以 若在区间上恒成立，的最大值为1.

故答案为：-1.

【解析】本题考查定积分的计算问题.

〖思路分析〗定积分的计算问题，主要是依据微积分的基本定理.先求出被积函数的原函数，然后由公式求得结果.